Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

38 Der Satz von Furstenberg-Kesten
Definition-Bemerkung 6.12. Sei A ∈ R d×d . Dann wird wegen 6.9 durch
∧ k A (u 1 ∧ . . . ∧ u k ) := Au 1 ∧ . . . ∧ Au k (u i ∈ R d )
ein linearer Operator ∧ k A : ∧ k R d
Matrix A. Hierfür gilt:
→ ∧ k R d definiert, das k-fache äussere Produkt der
i) ∧ 1 A = A ,
ii) ∧ d A = det A (wegen 6.7),
iii) ∧ k (AB) = (∧ k A)(∧ k B) ,
iv) (∧ k A) −1 = ∧ k A −1 falls A invertierbar,
v) ∧ k (cA) = c k ∧ k A für c ∈ R ,
vi) ∧ k U orthogonal, falls U orthogonal und in diesem Fall gilt (∧ k U) ∗ = ∧ k U ∗ .
Lemma 6.13 (Äußeres Produkt einer Matrix und Eigenwerte). Seien λ 1 , . . . , λ d
die Eigenwerte von A ∈ R d×d . Dann hat ∧ k A die Eigenwerte
{ λ i1 · · · λ ik : 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ d } .
Beweis. Sind u 1 , . . . , u d Eigenvektoren zu λ 1 , . . . , λ d und fixiert man Indizes
1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ d , so folgt:
∧ k A (u i1 ∧ . . . ∧ u ik ) ≡ Au i1 ∧ . . . ∧ Au ik
= λ i1 u i1 ∧ . . . ∧ λ ik u ik
= (λ i1 · · · λ ik ) (u i1 ∧ . . . ∧ u ik ) ,
sodaß λ i1 · · · λ ik ein Eigenwert zum Eigenvektor u i1 ∧ . . . ∧ u ik ist. Aus Dimensionsgründen
müssen dies alle Eigenvektoren und damit alle Eigenwerte sein. □
Lemma 6.14 (Äußeres Produkt einer Matrix und Singulärzerlegung).
Zu A ∈ R d×d seien δ 1 ≥ . . . ≥ δ d ≥ 0 die Singulärwerte und
A = V DU
eine Singulärwertzerlegung, wobei D ≡ diag(δ 1 , . . . , δ d ) ist. Dann gilt für k = 1, . . . , d:
i) ∧ k A = (∧ k V )(∧ k D)(∧ k U) ist Singulärzerlegung von ∧ k A;
ii) ∧ k D = diag ( δ i1 · · · δ ik : 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ d ).
Also ist δ 1 · · · δ k der größte bzw. δ d−k+1 · · · δ d der kleinste Singulärwert von ∧ k A.
iii) Für die Operatornorm gilt:
‖ ∧ k A‖ = δ 1 · · · δ k , | det A| = ‖ ∧ d A‖ = δ 1 · · · δ d und ‖ ∧ k A‖ ≤ ‖A‖ k .
Beweis. i) und ii) folgen aus 6.12 und 6.13; iii) ergibt sich aus ii) und der
Definition der Operatornorm ‖ · ‖ .
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