Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

14 Invariante Maße und asymptotisches Verhalten
1) (X n , Y n ) n∈N0 ist irreduzibel: Sind x 1 , x 2 , y 1 , y 2 ∈ S fixiert, so gibt es wegen
der Irreduzibilität von X Zeitpunkte k, l ∈ N mit
p k (x 1 , x 2 ) > 0 und p l (y 1 , y 2 ) > 0 .
Die Aperiodizität liefert gemäß 2.12 auch ein m 0 ∈ N, sodaß für m ≥ m 0 gilt
p m+l (x 2 , x 2 ) > 0 und p m+k (y 2 , y 2 ) > 0 .
Also ist mit Chapman-Kolmogorov auch
q k+l+m( (x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) )
≡ p k+l+m (x 1 , x 2 ) p k+l+m (y 1 , y 2 )
≥ p k (x 1 , x 2 ) p m+l (x 2 , x 2 ) p l (y 1 , y 2 ) p m+k (y 2 , y 2 ) > 0 .
Daher besteht S 2 aus einer einzigen Äquivalenzklasse. Für die Irreduzibilität ist
noch zu zeigen, daß alle Zustände in S 2 rekurrent sind. Gemäß 2.5 ist genügt
hierfür ein q-invariantes Maß ν mit ν(x, y) > 0 für alle (x, y) ∈ S 2 . Nun ist aber
ν(x, y) := µ(x) µ(y) (x, y ∈ S)
ein q-invariantes Maß auf S 2 wegen der p-Invarianz von µ :
∑
ν(x 1 , x 2 ) q((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) ≡ ∑
µ(x 1 ) µ(x 2 ) p(x 1 , y 1 ) p(x 2 , y 2 )
(x 1 ,x 2 )∈S 2 (x 1 ,x 2 )
= ∑ x 1
µ(x 1 ) p(x 1 , y 1 ) ∑ x 2
µ(x 2 ) p(x 2 , y 2 ) = µ(y 1 ) µ(y 2 ) ≡ ν(y 1 , y 2 )
für (y 1 , y 2 ) ∈ S 2 ; ferner ist ν(y 1 , y 2 ) ≡ µ(y 1 ) µ(y 2 ) 2.6 =
1
E y1 (T y1 )
1
E y2 (T y2 )
2.7 iii)
> 0.
2) Bezeichnet T die erste Treffzeit mit der Diagonalen D := {(x, x) : x ∈ S} ,
T := inf{ n ∈ N : (X n , Y n ) ∈ D } ,
T (x,x) die Erstbesuchszeit in (x, x) ∈ D, so gilt zum einen T ≤ T (x,x) . Ist ϱ eine
beliebige Anfangsverteilung auf S 2 , so ist andererseits wegen der in 1) gezeigten
Rekurrenz jedes T (x,x) < ∞ P ϱ - f.s.; insbesondere ist auch T < ∞ P ϱ – f.s. .
X n und Y n haben auf {T ≤ n} dieselbe Verteilung (n ∈ N), da für y ∈ S gilt:
P ϱ (X n = y , T ≤ n) =
=
n∑
P ϱ (T = m , X n = y)
m=1
n∑ ∑
P ϱ (T = m , X m = x , X n = y) =
m=1 x∈S