Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

24 Der Birkhoffsche Ergodensatz
Außerdem hat man
( ∣ ∣∣∣∣
1
E
n
n−1
∑
k=0
X ′′ ◦ ϕ k ∣ ∣∣∣∣
)
≤ 1 n
n−1
∑
k=0
(
E |X ′′ | ◦ ϕ k) = E(|X ′′ |) ,
wobei benutzt wurde, daß ϕ maßtreu ist; ferner gilt nach Jensen (| . | ist konvex):
E ( ∣ ∣ E(X ′′ |I ) ∣ ∣ ) ≤ E ( E( |X ′′ | |I ) ) = E(|X ′′ |) ;
faßt man die beiden letzten Ungleichungen zusammen, so ergibt sich:
( ∣ )
∣∣∣∣ n−1
1 ∑
E X ′′ ◦ ϕ k − E(X ′′ |I )
≤ 2 E(|X ′′ |) .
n
∣
k=0
Sei nun ein beliebiges ε > 0 fixiert; dann kann man K > 0 so groß wählen, daß
2 E(|X ′′ |) < ε 2
ist (majorierte Konvergenz, Definition von X ′′ ). Mit diesen Parametern ε und
K kann man wegen obiger L 1 -Konvergenz bei X ′ ein n 0 ∈ N wählen, sodaß gilt:
( ∣ )
∣∣∣∣ n−1
1 ∑
E X ′ ◦ ϕ k − E(X ′ |I )
< ε (n ≥ n 0 ) .
n
∣ 2
k=0
Da nun X ≡ X ′ + X ′′ ist, ergeben die vorangehenden drei Abschätzungen:
(∣ )
∣∣∣∣ n−1
1 ∑
E X ◦ ϕ k − E(X|I )
n
∣
k=0
(∣ ) (∣ )
∣∣∣∣ n−1
1 ∑
∣∣∣∣ n−1
≤ E X ′ ◦ ϕ k − E(X ′ 1 ∑
|I )
+ E X ′′ ◦ ϕ k − E(X ′′ |I )
< ε
n
∣ n
∣
k=0
□
Beispiel 4.3 (Starkes Gesetz der großen Zahlen). (X n ) n∈N0 seien iid ZV, oE auf
dem Folgenraum Ω := R N 0
definiert, mit P ≡ P X = P X0 ⊗ P X0 ⊗ · · · und ergodischem
Shift ϕ = θ 1 (siehe 3.12). Ist dann X 0 ∈ L 1 (P), so folgt aus 4.1 mit 3.9:
1
n
n−1
∑
k=0
X k
= 1 n
n−1
∑
k=0
X 0 ◦ ϕ k
k=0
P-fs, L 1 (P)
−−−−−−−→ E(X 0 |I ) = E(X 0 ) .
Beispiel 4.4 (Rotation des Kreises, Weylscher Gleichverteilungssatz). Es sei
ϕ : Ω −→ Ω , ϕ(ω) := ω + θ (mod 1) ,
auf (Ω, F , P) := ([0, 1), B[0, 1), λ ∣ ∣
F
) wie in 3.4 und 3.13, wobei λ das Lebesguemaß bezeichnet.
Ferner sei θ ∈ Q c . Dann folgt aus 4.1 mit 3.13 für A ∈ B[0, 1) :
1
n
n−1
∑
k=0
1 A ◦ ϕ k λ-fs, L 1 (λ)
−−−−−−−→ λ(A) .