Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

26 Der Subadditive Ergodensatz (Kingman)
Ziel ist es nun, bei subadditivem (Y n ) n eine Konvergenzaussage für Yn n
zu erhalten.
Dies wird im subadditiven Ergodensatz 5.7 von Kingman geschehen. Hierzu dienen die
folgenden drei Lemmata.
Lemma 5.4 (Riesz). Seien u 1 , . . . , u n ∈ R (n ∈ N). Mit
{
0 , j = 0
s j :=
u 1 + · · · + u j , j ∈ {1, . . . , n} ,
definiere
v j ≡ v jn := max
k∈{j,...,n} ( s k − s j ) ≡ max { 0 , u j+1 , u j+1 + u j+2 , u j+1 + · · · + u n
}
für j = 0, 1, . . . , n . Dann gilt:
n−1
∑
j=0
u j+1 1 {vjn >0} ≥ 0 .
Beweis. 1) Zunächst gilt für alle j ∈ {0, 1, . . . , n} :
Dies folgt direkt, da
v j = max{ 0 , u j+1 + v j+1 } ≡ (u j+1 + v j+1 ) + .
v j = max{ 0 , u j+1 , u j+1 + u j+2 , u j+1 + · · · + u n } und
v j+1 = max{ 0 , u j+2 , u j+2 + u j+3 , u j+2 + · · · + u n } .
2) Wegen 1) gilt:
v j ≤ v j+1 + u j+1 1 {vj >0} (j ∈ {0, 1, . . . , n}) .
Denn falls v j = 0 ist, ist dies trivial, und im Falle v j > 0 gilt:
0 < v j
1)
= (u j+1 + v j+1 ) + v j>0
= v j+1 + u j+1 .
3) Aus 2) folgt nun die Behauptung des Lemmas, denn:
0 ≤ v 0 = v 0 − v n =
n−1
∑
(v j − v j+1 ) ≤
2)
j=0
n−1
∑
j=0
u j+1 1 {vj >0} .
Im Beweis des subadditiven Ergodensatzes von Kingman werden wir subadditive Folgen
(Y n ) n vergleichen mit additiven Folgen X n = ∑ n−1
i=0 X 0 ◦ ϕ i . Dazu dient folgende
Hilfsüberlegung, für die das vorangehende Lemma von Riesz benötigt wird:
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