Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

40 Der Satz von Furstenberg-Kesten
2) Die Existenz von ˜Ω und γ (k) mit den behaupteten Eigenschaften folgt aus
Satz 5.7, angewandt auf (−Y k n ) n ; es bleibt lediglich zu zeigen:
γ (k+m) ≤ γ (k) + γ (m) ;
dies folgt aber direkt aus der charakterisierenden Eigenschaft der γ (k) und der
Normungleichung
‖ ∧ k+m A n ‖ ≤ ‖ ∧ k A n ‖ · ‖ ∧ m A n ‖ .
3) Wir zeigen nun die Behauptungen bzgl. Λ k : Nach 6.14 gilt für k = 1, . . . , d:
1
n log ‖ ∧k A n ‖ = 1 n
k∑
log δ i (A n ).
Es ist Λ 1 ≡ γ (1) und für ω ∈ ˜Ω erhält man daraus sukzessiv:
Λ k+1 (ω) ≡ γ k+1 (ω) − γ k (ω) =
i=1
1
lim
n→∞ n log δ k+1(A n ) ,
falls γ k (ω) > ∞ ist; bricht dieses Verfahren ab, d.h. ist γ k 0
(ω) = −∞, so ist
auch γ k (ω) = −∞ für alle k ≥ k 0 und damit auch Λ k = −∞ für alle k ≥ k 0 .
Die restlichen Aussagen gelten wegen
δ 1 (A n ) ≥ δ 2 (A n ) ≥ . . . ≥ δ d (A n )
und die jeweiligen Erwartungswerte existieren nach Voraussetzung.
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