Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

42 Der Multiplikative Ergodensatz (Oseledets)
Lemma 7.2. Seien P, Q orthogonale Projektoren in R 2 , sodaß gilt:
Dann folgt:
dim U = dim V = 1 , wobei U := Im P und V := Im Q .
δ(U, V ) := ‖P − Q‖ = |x ∧ y| = | sin α| (x ∈ U, y ∈ V mit |x| = |y| = 1) ,
wobei α den Winkel zwischen x und y bezeichnet. Folglich ist δ eine vollständige Metrik
auf P 1 , dem proketiven Raum aller eindimensionalen Teilräume des R 2 .
Beweis. Die zweite Gleichung wurde schon auf S. 37 gezeigt.
‖P − Q‖ = |x ∧ y| : Wie auf S. 37 folgt weiter:
( 〈x, x〉 〈x, y〉
|x ∧ y| = det
〈y, x〉 〈y, y〉
) 1/2
= √ 1 − 〈x, y〉
√
2
= 〈x, y〉 2 + 〈x, y ⊥ 〉 2 − 〈x, y〉 2
= | 〈x, y ⊥ 〉 |
= ‖ (I − Q) P ‖
= ‖ (P − Q) P ‖ ≤ ‖ P − Q ‖ ,
wobei noch die Idempotenz orthogonaler Projektoren benutzt wurde sowie die
Tatsache ‖AB‖ = ‖BA‖ für orthogonale Projektoren A, B.
Andererseits folgt für w ∈ R 2 :
also
| (P − Q)w | 2 = | (P − QP )w − (Q − QP )w | 2
= | (I − Q)P w − Q(I − P )w | 2
= | (I − Q)P w | 2 + | Q(I − P )w | 2
≤
Insgesamt ist also gezeigt:
‖ (I − Q)P ‖ 2 | P w | 2 + ‖ Q(I − P ) ‖
2 | (I − P )w | 2
} {{ }
‖ (I−Q)P ‖
= ‖ (I − Q)P ‖ 2 ,
‖ P − Q ‖ ≤ ‖ (I − Q)P ‖ .
‖ P − Q ‖ = ‖ (I − Q)P ‖ = |x ∧ y| .
Wie bereits angekündigt dient der folgende deterministische Satz dazu, den Satz von
Furstenberg-Kesten anwenden zu können.
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