Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

3. Stationäre Prozesse
Im folgenden betrachten wir stochastische Prozesse X = (X n ) n∈N0 auf einem fixierten
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F , P) mit Werten in einem polnischen Raum S (versehen
mit der Borel-σ-Algebra S := B(S)). Diese Familie von F -S -meßbaren Abbildungen
faßt man auch auf als Zufallsfolge
X : Ω −→ S N 0
, ω ↦→ (X n (ω)) n∈N0 ,
die F -S N 0
-meßbar ist, mit der Produkt-σ-Algebra
S N 0
( ⋃
)
:= σ π −1
n∈N 0
{n} [B n] : B n ∈ S
( ⋃
)
= σ π −1
n∈N
n [B] : B ∈ S n+1 ;
0
dabei ist das zweite Erzeugendensystem ∩-stabil, das erste hingegen nicht. Das durch
P X ≡ P (Xn) n∈N0
:= P ◦ X −1
definierte Maß auf S N 0
ist die Verteilung von X.
Sind nur Verteilungseigenschaften relevant, so kann statt X ohne Einschränkung auch sein
kanonischer Repräsentant (Y ) n := ( π {n}
)n auf (SN 0
, S N 0
, P X ) betrachtet werden.
Definition 3.1. Ein stochastischer Prozeß X = (X n ) n∈N0
heißt stationär, falls gilt:
P (Xn) n∈N0
= P (Xn+k ) n∈N0
(∀ k ∈ N) .
Ein stationärer Prozeß tritt also hinsichtlich seiner Verteilung ”
auf der Stelle“; dies wird
im folgenden Lemma nochmals formuliert:
Lemma 3.2. X = (X n ) n∈N0
ist genau dann stationär, falls gilt:
P (X0 ,...,X n) = P (Xk ,...,X k+n ) (k ∈ N , n ∈ N 0 ) .
Beweis. ”
⇒“ Für alle k ∈ N , n ∈ N 0 und B ∈ S n+1 gilt:
P (X0 ,...,X n)(B) ≡ P{ (X 0 , . . . , X n ) ∈ B }
= P{ (X m ) m∈N0 ∈ πn −1 (B) }
stat
= P{ (X m+k ) m∈N0 ∈ πn −1 (B) }
= P{ (X k , . . . , X n+k ) ∈ B } ≡ P (Xk ,...,X k+n )(B) .
” ⇐“ Nach Voraussetzung gilt gerade für alle k ∈ N , n ∈ N 0 und B ∈ S n+1 :
(
P (Xm) m∈N0 π
−1
n (B) ) (
= P (Xm+k ) m∈N0 π
−1
n (B) )
(vgl. obige Rechnung). Da aber { ⋃ n∈N 0
πn
−1 (B) : B ∈ S n+1 } ein ∩-stabiler
Erzeuger von S N 0
ist, folgt hieraus P (Xm) m∈N0
= P (Xm+k ) m∈N0
mit dem Maßeindeutigkeitssatz.
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