Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

18 Stationäre Prozesse
Theorem 3.5. Der Prozeß (X n ) n∈N0 mit polnischem Zustandsraum (S, S ) sei stationär
und g : S N 0
−→ S ′ sei S N 0
-S ′ -meßbar, wobei (S ′ , S ′ ) ebenfalls polnisch ist. Dann ist
Y k := g (X k , X k+1 , . . . ) (k ∈ N 0 )
stationär (in S ′ ).
Beweis. Wegen der Meßbarkeit von g ist für jedes k ∈ N 0 auch
g k : S N 0
−→ S ′ ,
x ↦→ g ◦ θ k (x)
meßbar, wobei θ ≡ (θ k ) k∈N0
wieder (siehe 1.5) den meßbaren Shift
θ k : S N 0
−→ S N 0
,
(x n ) n ↦→ (x n+k ) n
bezeichnet. Sei nun B ∈ (S ′ ) N 0
fixiert; aufgrund der Meßbarkeit aller g k ist
A := (g 0 , g 1 , . . .) −1 ( )
(B) meßbar und wegen Y k = g k (Xn ) n folgt für m ∈ N:
P (Yk ) k∈N0
(B) ≡ P ( (Y k ) k∈N0 ∈ B ) = P ( (X n ) n∈N0 ∈ A )
X stat
= P ( (X n+m ) n∈N0 ∈ A ) = P ( (Y k+m ) k∈N0 ∈ B )
≡ P (Yk+m ) k∈N0
(B) ,
also gerade die Stationarität von Y .
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Beispiel 3.6 (Bernoulli-Shift). Auf (Ω, F , P) := ([0, 1), B[0, 1), λ ∣ F
) ist (Y n ) n∈N0 ,
{
id Ω , n = 0
Y n : Ω −→ Ω , Y n :=
2Y n−1 (mod 1) , n ∈ N ,
stationär.
Beweis. Sei (X n ) n∈N0 eine Bernoulli-Folge zur Rate 1 2
, realisiert als Produktmaß
˜P auf ˜Ω := {0, 1} N 0
; (X n ) n sei also eine Folge von iid-ZVen in S := {0, 1}
mit ˜P{X n = 0} = ˜P{X n = 1} = 1 2 . Dann ist (X n) n stationär. Ferner ist
g : ˜Ω ≡ {0, 1} N 0
−→ Ω ≡ [0, 1) ,
(x n ) n ↦→ ∑ ∞
n=0 x n 2 −n−1 (mod 1)
meßbar und ˜P◦g −1 = P (dyadische Intervalle lassen sich als Mengen der Bauart
{X 0 = i 0 , . . . , X k = i k } mit i 0 , . . . , i k ∈ {0, 1} schreiben). Wegen 3.5 ist nun
stationär; andererseits gilt:
Z k := g(X k , X k+1 , . . . ) (k ∈ N 0 )
2 Z 0 ≡ 2 g(X 0 , X 1 , . . . ) = X 0 + ∑ ∞
X n 2 −n (mod 1)
n=1
= X 0 + ∑ ∞
X n+1 2 −(n+1) (mod 1)
n=0
= g(X 1 , X 2 , . . . ) ≡ Z 1 ;
iterativ erhält man: 2 Z n−1 = Z n (n ∈ N) , sodaß mit Z auch Y stationär ist.
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