Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

4 Markovketten
Definition 1.5. Sei (S, S ) ein meßbarer Raum. Dann ist auf dem Pfadraum Ω ≡ S N 0
die Familie θ ≡ (θ n ) n∈N0 der (kanonischen) Shifts θ n : Ω −→ Ω (n ∈ N 0 ) definiert durch
Jedes θ n ist meßbar bezüglich F ≡ S N 0
.
θ n (ω) := ( m ↦→ ω(m + n) ) .
Als nächstes wird die Markov-Eigenschaft (mit festen Zeiten) und hiermit die Starke
Markov-Eigenschaft (mit Stoppzeiten) gezeigt. Hierbei bezeichnen E µ bzw. E x ≡ E δx
die bezüglich P µ bzw. P δx auf Ω gebildeten Erwartungswerte bei zugrundegelegten Übergangswahrscheinlichkeiten
(p n ) n∈N . Als Vereinfachung wird die Markov-Kette als zeitlich
homogen vorausgesetzt:
Definition 1.6. In der Situation von Satz 1.4 heißt die Markov-Kette X zeitlich-homogen,
falls für alle n ∈ N gilt: p n = p 1 (=: p).
Theorem 1.7 (Markov-Eigenschaft). In der Situation aus 1.4 sei die Markov-Kette
X zeitlich-homogen; Y sei eine beschränkte, F -meßbare Zufallsvariable auf Ω. Dann gilt:
E µ (Y ◦ θ n | F n ) = E Xn (Y ) ≡ E x (Y ) ∣ (n ∈ N 0 ) .
x=Xn
Beweis. Zunächst ist zu bemerken, daß E Xn (Y ) tatsächlich meßbar bzgl. F n ist; dies folgt
aus der Adaptiertheit von X und der Meßbarkeit von x ↦→ E x (Y ) [letztere ist nach Definition
und rekursiver Anwendung von 1.2 i) klar für Indikatorfunktionen Y = 1 π
−1
n [B 0 ×···×B n]
zu B i ∈ S ; die allgemeine Aussage ergibt sich aus dem Monotone-Klassen-Theorem, da
wegen des Satzes über monotone Konvergenz {Y : x ↦→ E x (Y ) meßbar} abgeschlossen
bzgl. monotonen Operationen ist]. Es bleibt also, die behauptete Gleichheit nachzuweisen.
Aufgrund des Monotone-Klassen-Theorems genügt es, dies für den Fall zu zeigen, daß Y
∏
von der Form m g k (X k ) ist mit beschränkten, S -meßbaren ZVn g 0 , . . . , g m .
k=0
1) Zunächst betrachten wir die Mengen aus F n der Gestalt A := πn
−1 [A 0 × · · · × A n ] mit
A 0 , . . . , A n ∈ S ; hiermit gilt:
( m
)
∏
E µ (Y ◦ θ n · 1 A ) ≡ E µ g k (X n+k ) · 1 A
(1),1.3
=
k=0
∫ ∫
∫
µ(dx 0 ) p(x 0 , dx 1 ) · · · p(x n−1 , dx n ) ×
A 0 A 1 A
∫
∫ n
× g 0 (x n+1 ) p(x n , dx n+1 ) · · · g m (x n+m ) p(x n+m−1 , dx n+m )
S
S
) )
g k (X k ) · 1 A
( (
∏ m
Trafo.satz
= E µ E Xn
k=0
≡ E µ
(
EXn (Y ) · 1 A
)
,
also die Behauptung für alle A ∈ F n , die von der speziellen, obigen Gestalt sind.
2) Sei nun L := { A ∈ F n : Aussage aus 1) gilt für A } .Gemäß 1) ist πn
−1
(R n ) ∩-stabil ist, folgt aufgrund des Dynkin-Lemmas F n = σ(π −1
π −1
n
(R n ) ⊂ L ; da
n (R n )) ⊂ L .