Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

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Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion und elementare Eigenschaften von Markov-Ketten 1 2 Invariante Maße und asymptotisches Verhalten 8 3 Stationäre Prozesse 16 4 Der Birkhoffsche Ergodensatz 22 5 Der Subadditive Ergodensatz von Kingman 25 6 Der Satz von Furstenberg-Kesten 32 7 Der Multiplikative Ergodensatz von Oseledets 41 Notationen 52 Literaturverzeichnis 52 Index 53
1. Markov-Ketten: Konstruktion und elementare Eigenschaften Definition 1.1. Sei (S, S ) ein meßbarer Raum. Eine Funktion heißt Übergangswahrscheinlichkeit, falls gilt: p : S × S → [0, 1] (a) für jedes x ∈ S ist p(x, . ) Wahrscheinlichkeitsmaß auf (S, S ); (b) für jedes A ∈ S ist p( . , A) S -meßbar. Bemerkung 1.2. Sei p Übergangswahrscheinlichkeit auf einem meßbaren Raum (S, S ). i) Ist f : S → R S -B 1 -meßbar und beschränkt, so auch g := ∫ S f(x) p( . , dx) ; ii) Ist µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (S, S ), so auch ν := ∫ S p(x, . ) µ(dx) . Beweis. i) Wegen 1.1(b) gilt die Aussage für Indikatorfunktionen f = 1 A meßbarer Mengen, also auch (Linearität des Integrals) für Treppenfunktionen. Ist f ≥ 0, so existieren approximierende Treppenfunktionen 0 ≤ f n ↗ f; hier ist g n := ∫ f n (x) p( . , dx) meßbar (da f n Treppenfunktion) und (durch die Schranke von f) beschränkt; andererseits gilt (Satz über monotone Konvergenz) g n ↗ ∫ f(x) p( . , dx) ≡ g, sodaß g als punktweiser Limes meßbarer Funktionen selbst meßbar ist; g ist ebenfalls durch die Schranke von f beschränkt. Im allgemeinen Fall ist f = f + − f − mit f + , f − ≥ 0; aufgrund des bisherigen sind g ± := ∫ f ± (x) p( . , dx) meßbar und beschränkt, also auch g = g + − g − . ii) Für eine Folge (A n ) n∈N paarweise disjunkter A n ∈ S gilt: ( ) .⋃ ∫ ( .⋃ ) ∫ ν A n ≡ p x, An µ(dx) 1.1(a) ∑ = p(x, A n ) µ(dx) n S mon.Kvgz. = ∑ ∫ n S S n p(x, A n ) µ(dx) ≡ ∑ n ν(A n ) ; ferner ist ν(S) ≡ ∫ S p(x, S) µ(dx) 1.1(a) = ∫ S µ(dx) = 1 (µ W.Maß). Definition 1.3. Sei S ein polnischer Raum und hierauf (p n ) n∈N eine Folge von Übergangswahrscheinlichkeiten sowie µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann sei P 0 := µ und ∫ P n (B 0 × · · · × B n ) := p n (x n−1 , dx n )p n−1 (x n−2 , dx n−1 ) · · · p 1 (x 0 , dx 1 ) µ(dx 0 ) B 0 ×···×B n zu n ∈ N und B i ∈ S ≡ B(S). Mit Bemerkung 1.2 folgt rekursiv, daß P n wohldefiniert ist auf dem Semiring 1 R n := {B 0 × · · · × B n : B i ∈ S } . 1 Ein Mengensystem P heißt Semiring, falls gilt (cf. Halmos [HM 74, S.22]): • zu E ∈ P und F ∈ P ist auch E ∩ F ∈ P, und • zu E ∈ P und F ∈ P mit E ⊂ F existieren endlich viele C 0, C 1, . . . , C n ∈ P, sodaß E = C 0 ⊂ C 1 ⊂ · · · ⊂ C n = F und C i \ C i−1 ∈ P (i = 1, . . . , n) .
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Seite 5 und 6: Konstruktion und elementare Eigensc
Seite 11 und 12: Invariante Maße und asymptotisches
Seite 19 und 20: Stationäre Prozesse 17 Beispiel 3.
Seite 21 und 22: Stationäre Prozesse 19 Definition
Seite 23 und 24: Stationäre Prozesse 21 Theorem 3.1
Seite 25 und 26: Der Birkhoffsche Ergodensatz 23 Bew
Seite 27 und 28: 5. Der Subadditive Ergodensatz von
Seite 29 und 30: Der Subadditive Ergodensatz (Kingma
Seite 35 und 36: Der Satz von Furstenberg-Kesten 33
Seite 43 und 44: 7. Der Multiplikative Ergodensatz v
Seite 45 und 46: Der Multiplikative Ergodensatz (Ose
Seite 53 und 54:
Der Multiplikative Ergodensatz (Ose
Seite 55:
Index additive Kozykel-Eigenschaft
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