Stochastische Dynamik - Stochastik - Humboldt-Universität zu Berlin

30 Der Subadditive Ergodensatz (Kingman)
3) Yn n
−→ γ P-f.s.: Hierzu zeigen wir Y ≤ γ und Y ≥ γ , wobei wieder
Y := lim sup
n→∞
Y n
n
bzw.
Y := lim inf
n→∞
Y n
n .
Y ≤ γ P-f.s.: Für r ∈ N >2 definieren wir
X r := min{ r , Y − 1 r } > 0 ;
hierbei folgt die Ungleichung, da wegen 2) Y ≥ 1 ist. Nach 5.6 gilt ferner
X r = X r ◦ ϕ , also Xn r := n−1 ∑
X r ◦ ϕ i = nX r ; hiermit hat man
i=0
V := sup
n∈N 0
( Y n − X r n ) − Y 0 = sup
n∈N 0
( Y n − nX r ) > 0 ;
dabei ergibt sich die zuletzt notierte Ungleichung aus der Definition von X r :
wäre nämlich Y n ≤ nX r für alle n ∈ N 0 , so erhielte man den Widerspruch
Y ≡ lim sup Yn nXr
n
≤ lim sup
n = Xr < Y . Also folgt mit 5.5:
X r
= E ( X r | I ) ≤ sup
n∈N
Hieraus folgt durch r → ∞ aber: Y ≤ γ P-f.s. .
E( Y n | I )
n
≡ γ .
Y ≥ γ P-f.s.: Zunächst ist (Y n ) n wegen der Superadditivität und der Positivität
monoton wachsend; daraus schließt man:
k Y n+k−1
≥
n−1
∑
(Y j+k − Y j ) (k, n ∈ N) ;
j=0
hiermit erhält man für jedes k ∈ N :
Y = lim inf
n→∞
= lim inf
n→∞
= 1 k
≥
≥
1 k
1 k
lim inf
n→∞
lim inf
n→∞
lim inf
n→∞
Y n+k−1
n + k − 1
Y n+k−1
n
k Y n+k−1
n
n−1
∑ Y j+k − Y j
n
j=0
n−1
∑
j=0
Y k ◦ ϕ j
n
(vorangehende Bem.)
(Superadditivität)
also auch Y ≥ γ.
= 1 k E( Y k | J ) (Birkhoff 4.1)