Mechanik 1 - TU Wien

Mechanik 1
3 Spannungen
z
σ yy
z
τ zy + dτ zy
τ yz + dτ yz
dz
x
dy
dx
y
σ yy
τ yz
τ
τ zy
xy
σ yy + dσ yy
τ yx + dτ yx
y
y
τ yx
σ yy + dσ yy
τ xy + dτ xy
x
Abbildung 3.5 Spannungen
an einem infinitesimalen Quader
folgt daraus
∂σ yy
∂y dV + ∂τ zy
∂z dV + ∂τ xy
∂x dV + f ydV = 0
Analog folgt aus den Beziehungen ∑ F x = 0 und ∑ F z = 0:
Die Momentenbedingung ∑ M x = 0 ergibt:
∂σ xx
∂x + ∂τ yx
∂y + ∂τ zx
∂z + f x = 0
∂τ xy
∂x + ∂σ yy
∂y + ∂τ zy
∂z + f y = 0 (3.4)
∂τ xz
∂x + ∂τ yz
∂y + ∂σ zz
∂z + f z = 0
(τ yz + τ yz + dτ yz ) dy
2 dxdz − (τ zy + τ zy + dτ zy ) dz
2 dxdy = 0
→ τ yz − τ zy = 0
Aus den anderen Momentengleichungen folgt analog:
τ xy = τ yx τ xz = τ zx τ yz = τ zy (3.5)
Der Spannungsvektor ⃗t auf einer Fläche, deren Orientierung durch den Normaleneinheitsvektor
⃗n gegeben ist, wird berechnet aus:
⎡ ⎡
⎡
t x σ xx τ xy τ xz n x
⃗t = t y ⎢⎣
⎤⎥
= τ xy σ yy τ yz
⎦ ⎢⎣
⎤⎥ · n y ⎦ ⎢⎣
⎤⎥
= [S] · ⃗n (3.6)
⎦
t z τ xz τ yz σ zz n z
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