Mechanik 1 - TU Wien

7 Hydrostatik Mechanik 1
7 Hydrostatik
7.1 Spannungszustand
Eine wesentliche Eigenschaft von Flüssigkeiten ist, dass sie im Ruhezustand keine
Schubspannungen aufnehmen können. Der Spannungstensor ist somit nur auf der Hauptdiagonalen
belegt:
⎡
σ xx 0 0
[S] = 0 σ yy 0
⎢⎣
⎤⎥
(7.1)
⎦
0 0 σ zz
Da aber die Schubspannungen bezogen auf jedes beliebige Paar von orthogonalen Achsen
verschwinden muss, ist Spannungsvektor⃗t auf einer beliebigen Ebene mit Normaleneinheitsvektor
⃗n (vgl. Gl. 3.6) parallel zum Normalenvektor (sonst hätte er ja Schubspannungsanteile)
und es gilt somit:
⎡
σ xx 0 0
⃗t = 0 σ yy 0
⎢⎣
⎤⎥ · ⎦
0 0 σ zz
Offensichtlich ist dies nur möglich, wenn
⎡
⎢⎣
cn x
n y
n z
⎤⎥ ⎦
=
⎡
σ xx n x n x
!
σ yy n y ⎢⎣
⎤⎥ = a · ⎦
⎡⎢
n y ⎣
⎤⎥
; a ≠ 0 (7.2)
⎦
σ zz n z n z
σ xx = σ yy = σ zz = −p (7.3)
also alle Normalspannungen identisch sind. Hier ist p der Druck. Aus den Gleichgewichtsbedingungen
(3.4) ergibt sich nunmehr
Im Schwerefeld gilt
und somit aus Gl. (7.4) unmittelbar
⃗ f − ∇p = ⃗0 (7.4)
f x = 0; f y = 0; f z = −ρg (7.5)
p(x, y, z) = −ρgz + C (7.6)
Der Druck in einer ruhenden Flüssigkeit im Schwerefeld ist nur von der Höhe z abhängig.
Die Konstante C ergibt sich durch Vorgabe des Drucks p 0 in einer Referenzhöhe z 0 . Oft wird
p 0 als Luftdruck gewählt.
7.2 Auftrieb
Wir betrachten einen allseitig von Flüssigkeit umgebenen Körper (vgl. Abb. 7.1)
Auf die Oberfläche dieses Körpers wirkt ein von der Höhe z abhängiger Druck p(z). Die resultierende
Kraftwirkung der Flüssigkeit auf den Körper kann mit Hilfe einer einfachen Überlegung
bestimmt werden. Der eingetauchte Körper verdrängt insgesamt soviel Flüssigkeit wie
in seinem Volumen V D enthalten wäre. Die resultierende Kraft auf dieses Flüssigkeitsvolumen
wäre gleich der Gewichtskraft G K der Flüssigkeit in diesem Volumen, da die Flüssigkeit
sich ja im Gleichgewicht befindet. Somit übt die Flüssigkeit insgesamt eine resultierende
Kraft von
62 © 2007 - 2013 Christian Bucher. All rights reserved.