Mechanik 1 - TU Wien

5 Kinematik des Punktes und des starren Körpers Mechanik 1
Beispiel 5.8
Stabkräfte in einem Fachwerk
F F F
D3 V 3
c
L L L L
F F F
(1,4)
IV
I
V 3
(0,1) (0,3)
(1,2) II III (0,4)
(0,2)
V 3
L
Für das dargestellte Fachwerk mit 13 Stäben
sollen die Stabkräfte V 3 und D 3 mit
Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen
berechnet werden.
Um die Stabkräfte berechnen zu können,
müssen Schnitte eingeführt werden,
die eine Längsverschieblichkeit der Stäbe
ermöglichen. Da ein einem Fachwerk keine
Querkräfte und Biegemomente vorhanden
sind, können die Stäbe auch einfach
entfernt werden, wenn die Stabkräfte auf
die jeweiligen Knoten angesetzt werden.
a) V 3 Die Pole (0, 1), (0, 4) und (1, 4) liegen
nicht auf einer Geraden. Daher sind I
und IV nicht beweglich. Der Pol (0, 2) liegt
daher im Pol (1, 2).
Von allen Kräften leistet nur V 3 virtuelle
Arbeit:
δW = V 3 Lδϕ = 0 → V 3 = 0
(0,1)
δφ
I
(1,3)
0,2
(1,2)
D 3
II
D 3
(0,3)
III
(0,2)
2,3 2,3
0,3
D 3
3δφ
(2,4)
IV
(3,4)
0,2
δφ
(0,4)
0,3
V 3 ist also ein Nullstab.
b) D 3 Aus (0, 1) und (1, 2) folgt eine
Richtung zu (0, 2), ebenso aus (0, 4) und
(2, 4). Damit liegt der Hauptpol (0, 2) fest.
Für den Hautpol (0, 3) ist zunächst nicht
genügend Information verfügbar. Dazu
wird der Nebenpol (2, 3) benötigt. Aus
(1, 2) und (1, 3) ergibt sich eine Richtung
zu (2, 3), ebenso aus (2, 4) und (3, 4). Beide
Richtungen sind parallel, der Nebenpol
(2, 3) liegt also im Unendlichen. Verbindet
man (0, 2) mit (2, 3) so ergibt sich
eine Richtung zu (0, 3), ebenso aus (0, 1 =
und (1, 3). Damit liegt auch der Hauptpol
(0, 3 = fest.
Die virtuelle Arbeit aller Kräfte ist:
δW = −F · Lδϕ − F · 2Lδϕ + F · Lδϕ +
+ D 3 · L √ 2δϕ + D 3 · L √ 2δϕ = 0
Daraus ergibt sich
D 3 = F √
2
54 © 2007 - 2013 Christian Bucher. All rights reserved.