Mechanik 1 - TU Wien

8 Formänderungen Mechanik 1
Beispiel 8.1
Dimensionierung auf Biegespannungen
200 -σ [N/mm 2 ]
L
2
150
0
-150
F
L
2
H
t
-300
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
H [m]
B
t
t
Die Höhe des Querschnitts eines Trägers
auf zwei Stützen unter einer Einzellast
soll so dimensioniert werden, dass der
Betrag der maximalen Biegespannung den
Wert σ max = 200 N/mm 2 nicht überschreitet.
Gegeben sind: F = 5 kN, L = 20.0 m, B =
100 mm, t = 5 mm.
Lösung: Die maximale Biegespannung
tritt in der Trägermitte auf. Dort ist das
Biegemoment M = FL
4
. Das Flächenträgkeitsmoment
I s,yy berechnet sich nach:
I s,yy = 2 Bt3
12
+ 2Bt(H
− t)2
4
+
t(H − 2t)3
12
und das Widerstandsmoment W = 2I s,yy
H
. Die Größe σ−σ max =
4W FL −σ max ist in obenstehender
Skizze als Funktion der Querschnitthöhe H dargestellt. Die Nullstelle liegt bei H = 0.2 m.
Ein Querschnitt mit der Höhe H > 200 mm erfüllt also die Spannungsrestriktion.
8.2 Biegelinie
Ausgehend von der Bernoulli-Hypothese ergibt sich bei gerader Biegung um die y-Achse
eine relative Verdrehung benachbarter Querschnitte (Abstand dx) um den Winkel dϕ. Daraus
folgt eine Änderung der Neigung der Balkenachse um denselben Winkel. Der Zusammenhang
zwischen dϕ und dx wird durch den Krümmungsradius R hergestellt:
dx = R dϕ (8.9)
Andererseits kann die Neigungsänderung auch aus der Dehnungsdifferenz zwischen dem
unteren und oberen Querschnittrand bestimmt werden:
dϕ = ε u − ε o
z u − z o
dx (8.10)
R
dφ
x
z, w
Abbildung 8.4
dx
Neigungszuwachs dϕ
70 © 2007 - 2013 Christian Bucher. All rights reserved.