Mechanik 1 - TU Wien

Mechanik 1
4 Statik einfacher Tragwerke
an gegenüberliegenden Schnittufern wirkenden Schnittgrößen M, Q und N sind im Gleichgewicht.
Die Schnittgrößen sind ein Maß für die Beanspruchung des Werkstoffs.
4.4 Statische Bestimmtheit
Ein Tragwerk heißt statisch bestimmt gelagert, wenn die Lagerreaktionen eindeutig aus den
Gleichgewichtsbedingungen bestimmbar sind. Für einen einfachen Balken bedeutet dies,
dass die Anzahl r der Lagerreaktionen gleich der Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen
sein muss, d.h. r = 3. Allgemein heißt ein Tragwerk m-fach statisch unbestimmt, wenn die
Anzahl der unbekannten Lagerreaktionen um m größer ist als die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen.
Bei mehrteiligen (zusammengesetzten) Systemen bestehend aus n Teilkörpern
(Teilstäben) ist die notwendige Bedingung für statische Bestimmtheit:
r + v − 3n = 0 (4.1)
Darin ist r die Anzahl der Lagerreaktionen und v die Anzahl der Bindungskräfte zwischen
den Teilen. Die Bedingung 4.1 ist nicht hinreichend, d.h. es gibt Systeme, die die Bedingung
(4.1) zwar erfüllen, aber nicht statisch bestimmt sind.
Beispiel 4.1
Dreigelenkbogen
Das dargestellte System besteht aus 2 miteinander
gelenkig verbundenen Teilsystemen. In diesem
Gelenk werden 2 unabhängige Verbindungskräfte
übertragen, das Moment aufgrund der Drehbarkeit
kann nicht übertragen werden. Die Lager sind fest
und können zwei unabhängige Kraftgrößen aufnehmen.
Daher ist hier n = 2, r = 4, v = 2 und somit m = r + v − 3n = 4 + 2 − 3 · 2 = 0 ̌
Beispiel 4.2
Ausnahmefall
Hier ist n = 1, r = 3, v = 0 und somit m = r + v − 3n =
3 + 0 − 3 · 1 = 0. Dennoch ist das Tragwerkssystem nicht
statisch bestimmt (es ist horizontal beweglich).
Beispiel 4.3
Gelenkträger
einfach statisch unbestimmt.
Hier ist n = 2, r = 5, v = 2 und somit m = r + v −
3n = 5 + 2 − 3 · 2 = 1. Das Tragwerkssystem ist
Beispiel F: nicht abgedruckt.
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