Mechanik 1 - TU Wien

3 Spannungen Mechanik 1
z
⃗n
⃗t
x
y
Abbildung 3.6
Spannungsvektor auf beliebig
orientierter Fläche
Die symmetrische 3 × 3-Matrix [S] heißt Spannungstensor. Die Einheit der Spannung ist ein
Pascal 2 , 1 Pa = 1 N/m 2 .
Ein spezieller Spannungszustand ist der ebene Spannungszustand mit τ xz = τ yz = σ zz = 0. In
diesem Fall reduziert sich der Spannungstensor auf
[ ]
σxx τ
[S] = xy
τ xy σ yy
Beispiel D: nicht abgedruckt.
3.3 Verzerrungen
Unter einer Belastung erfährt jeder Punkt im Kontinuum eine Lageänderung. Zueinander
benachbarte Punkte P und Q bewegen sich in veränderte Positionen P ∗ und Q ∗ . Dabei ändert
sich i.a. auch der Abstand der beiden Punkte zueinander.
z
⃗r
Q
d⃗r
P
⃗r ∗
⃗u + d⃗u
⃗u
P ∗
d⃗r ∗
Q ∗
x
Abbildung 3.7
Bewegung benachbarter Körperpunkte
y
Der Verschiebungsvektor des Punktes P ist ⃗u. Die Relativverschiebung der Punkte zueinander
ist durch den Vektor d⃗u gegeben. Die Komponenten dieses Vektors werden aus den
Verschiebungen berechnet (Taylor-Reihe, linearisiert)
du = ∂u ∂u ∂u
dx + dy +
∂x ∂y ∂z dz
dv = ∂v
∂x
dw = ∂w
∂x
dx +
∂v
∂y
∂v
dy + dz (3.7)
∂z
∂w ∂w
dx + dy +
∂y ∂z dz
2 Blaise Pascal, *1623 Clermont, +1662 Paris
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