5 Kinematik des Punktes und des starren Körpers <strong>Mechanik</strong> 1 Beispiel 5.8 Stabkräfte in einem Fachwerk F F F D3 V 3 c L L L L F F F (1,4) IV I V 3 (0,1) (0,3) (1,2) II III (0,4) (0,2) V 3 L Für das dargestellte Fachwerk mit 13 Stäben sollen die Stabkräfte V 3 und D 3 mit Hilfe des Prinzips der virtuellen Verschiebungen berechnet werden. Um die Stabkräfte berechnen zu können, müssen Schnitte eingeführt werden, die eine Längsverschieblichkeit der Stäbe ermöglichen. Da ein einem Fachwerk keine Querkräfte und Biegemomente vorhanden sind, können die Stäbe auch einfach entfernt werden, wenn die Stabkräfte auf die jeweiligen Knoten angesetzt werden. a) V 3 Die Pole (0, 1), (0, 4) und (1, 4) liegen nicht auf einer Geraden. Daher sind I und IV nicht beweglich. Der Pol (0, 2) liegt daher im Pol (1, 2). Von allen Kräften leistet nur V 3 virtuelle Arbeit: δW = V 3 Lδϕ = 0 → V 3 = 0 (0,1) δφ I (1,3) 0,2 (1,2) D 3 II D 3 (0,3) III (0,2) 2,3 2,3 0,3 D 3 3δφ (2,4) IV (3,4) 0,2 δφ (0,4) 0,3 V 3 ist also ein Nullstab. b) D 3 Aus (0, 1) und (1, 2) folgt eine Richtung zu (0, 2), ebenso aus (0, 4) und (2, 4). Damit liegt der Hauptpol (0, 2) fest. Für den Hautpol (0, 3) ist zunächst nicht genügend Information verfügbar. Dazu wird der Nebenpol (2, 3) benötigt. Aus (1, 2) und (1, 3) ergibt sich eine Richtung zu (2, 3), ebenso aus (2, 4) und (3, 4). Beide Richtungen sind parallel, der Nebenpol (2, 3) liegt also im Unendlichen. Verbindet man (0, 2) mit (2, 3) so ergibt sich eine Richtung zu (0, 3), ebenso aus (0, 1 = und (1, 3). Damit liegt auch der Hauptpol (0, 3 = fest. Die virtuelle Arbeit aller Kräfte ist: δW = −F · Lδϕ − F · 2Lδϕ + F · Lδϕ + + D 3 · L √ 2δϕ + D 3 · L √ 2δϕ = 0 Daraus ergibt sich D 3 = F √ 2 54 © 2007 - 2013 Christian Bucher. All rights reserved.
<strong>Mechanik</strong> 1 5 Kinematik des Punktes und des starren Körpers Beispiel 5.9 Dreigelenkrahmen Wir untersuchen ausgewählte Lagerreaktionen und Schnittgrößen für das dargestellte System. Die Zahlenwerte für die Belastungsgrößen sind F = 20 kN, p = 1 kN/m. F c g d p 4.0 b A H B H 4.0 a B V 4.0 4.0 [m] A V a) A V (1,2) c F d (0,1) F p b) A H A H A V ( ) F · 8 − p · 32 = 10.667kN A H = 1 ( ) F · 4 − p · 64 = 1.333kN 12 (1,2) (0,2) p (0,2) (0,1) δW = A V · 12 · δϕ − F · 8 · δϕ + p · 8 · 4 · δϕ = 0 A V = 1 12 δW = A H · 12 · δϕ − F · 4 · δϕ + p · 8 · 8 · δϕ = 0 © 2007 - 2013 Christian Bucher. All rights reserved. 55