Mechanik 1 - TU Wien
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8 Formänderungen <strong>Mechanik</strong> 1<br />
8 Formänderungen<br />
8.1 Dehnungs- und Spannungsverteilung bei reiner Balkenbiegung<br />
Es wird angenommen, dass im Querschnitt nur die Schnittgrößen<br />
M y und M z vorhanden sind (reine Biegung, keine Normal- bzw.<br />
verformt<br />
unverformt<br />
Querkräfte, keine Torsion). Für die Formänderungen infolge Biegung<br />
wird angenommen, dass die Querschnitte des Balkens auch<br />
nach der Deformation infolge der Biegemomente eben bleiben (Bernoulli’sche<br />
Abbildung 8.1 Bernoulli-<br />
7 Hypothese).<br />
Hypothese<br />
Aus dieser Hypothese folgt, dass die Dehnungen ε xx linear über den<br />
Querschnitt verteilt sind. Nimmt man ferner einen linear-elastischen<br />
Werkstoff an, so sind auch die Normalspannungen σ xx linear über den Querschnitt verteilt<br />
σ xx = C 1 + C 2 y + C 3 z (8.1)<br />
S<br />
A<br />
y<br />
x<br />
z<br />
σ xx<br />
Abbildung 8.2<br />
Lineare Verteilung der Normalspannung<br />
σ xx<br />
Die Resultierenden der Spannungsverteilung müssen den vorgegebenen Schnittgrößen entsprechen:<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫<br />
∫ ∫<br />
N = σ xx dydz = 0, M y = zσ xx dydz, M z = − yσ xx dydz (8.2)<br />
A<br />
A<br />
Mit Berücksichtigung der angenommenen Spannungsverteilung (8.1) wird daraus ein Gleichungssystem<br />
für die drei Koeffizienten C 1 , C 2 und C 3 :<br />
∫ ∫<br />
(C 1 + C 2 y + C 3 z)dydz = C 1 A + C 2 S s,z + C 3 S s,y = N = 0<br />
A<br />
∫ ∫<br />
A<br />
∫ ∫<br />
A<br />
mit den Lösungen<br />
z(C 1 + C 2 y + C 3 z)dydz = C 1 S s,y − C 2 I s,yz + C 3 I s,yy = M y<br />
y(C 1 + C 2 y + C 3 z)dydz = C 1 S s,z + C 2 I s,zz − C 3 I s,yz = −M z<br />
A<br />
7 Jacob Bernoulli, *1654 Basel, +1705 Basel<br />
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