Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

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Leider offenbart unsere Liste der Graphen mit 5 Ecken, dass auch die Gradfolgen nicht ausreichen, um nicht-isomorphe Graphen stets zu unterscheiden: Der vorletzte Dominostein in der Liste zeigt zwei nicht-isomorphe, zusammenhängende und zueinander komplementäre Graphen mit gleicher Gradfolge. Die einzigen weiteren Beispiele von Gradfolgen, zu denen zwei nicht-isomorphe Graphen mit 5 Ecken gehören, sind (1, 1, 2, 2, 2) in der drittletzten Zeile und (2, 2, 2, 3, 3) in der vorletzten Zeile des großen Diagramms. Man könnte jetzt noch einen Schritt weiter gehen, für jede Ecke die Gradfolge der adjazenten Ecken bilden und diese Gradfolgen zu einem großen Vektor zusammenhängen. Damit hat man eine Invariante, die schon sehr gute Unterscheidungsmöglichkeiten bietet. Jedoch ist diese ” doppelte Gradfolge” bei größeren Graphen recht kompliziert. Im Falle der beiden komplementären Graphen mit 5 Ecken und gleicher Gradfolge ergeben sich beispielsweise die beiden verschiedenen doppelten Gradfolgen (3, 2 2, 2 3, 2 3, 1 2 2) und (2, 1 3, 2 3, 2 3, 2 2 2). Allerdings kommen wir auch damit in Beispiel 3.7 nicht weiter: Dort bestehen alle doppelten Gradfolgen aus der gleichen Anzahl von Dreien. Weitere Invarianten sind die Vieleckfolgen (z 1 , ..., z n ), wobei z m die Anzahl der m-Ecke des gegebenen Graphen ist. Speziell ist z 1 die Zahl der Ecken, z 2 die der Kanten und z 3 die der Dreiecke. Auch hierin unterscheiden sich die zwei komplementären fünfeckigen Graphen mit gleicher Gradfolge: Die Vielecksfolgen lauten (5, 5, 0, 1, 0) und (5, 5, 1, 0, 0): der linke Graph des Dominosteins enthält ein Viereck, aber kein Dreieck, während es bei dem rechten gerade umgekehrt ist. Und jetzt können wir endlich auch die Nicht-Isomorphie der drei Graphen in Beispiel 3.7 begünden: G 1 hat keine Vierecke, G 2 hat zwei Vierecke, und G 3 hat fünf Vierecke. Ein Graph ohne nicht-triviale Symmetrien heißt starr. Gibt es überhaupt solche Graphen? Nach Definition ist jeder einpunktige Graph trivialerweise starr, aber die Listen der Graphen mit 4 oder 5 Ecken halten eine weitere kleine Überraschung bereit: Außer den einpunktigen Graphen gibt keinen einzigen starren Graphen mit weniger als 6 Ecken. Darf man daraus schließen, dass starre Graphen eine Rarität sind? Nein, im Gegenteil! Mit Methoden, die wir hier nicht erläutern können, läßt sich zeigen, dass der Anteil der starren Graphen mit n Ecken bei wachsendem n sogar gegen 1 geht. Don’t trust in small numbers! Beispiel 3.10 Konstruktion von starren Grafen ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❣ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❣ ❝ ❝ ❝ ❝ ✁❝ ✁ ❝❆❝ ✁ ❆❝ ❆❝ ✁❝ ❆❝ ❝ ❝ 66
3.2 Eulersche und Hamiltonsche Wege Als älteste Aufgabe der Graphentheorie gilt das von Leonhard Euler stammende Königsberger Brückenproblem Gibt es einen Rundweg durch die Stadt Königsberg, bei dem man jede Brücke genau einmal besucht? (“ Über sieben Brücken mußt du geh’n ...”) A ✛ ✚ B C ✘✛ D ✙✚ (1) A ❝ ✂ ❇❅ ❇ ✂ ❅ B ❝ ❝ D ✂ ❇ ❇ ✂ C ❝ (2) A ❝ ✂ ❇❅ ❇ ✂ ❅ B ❝ ❝ D ✂ ❇ ❇ ✂ C ❝ (3) Bei graphentheoretischer Reduktion dieses Problems ” auf das Wesentliche” bieten sich die vier Stadtteile A, B, C, D als Knoten und die sieben Brücken als Kanten an. Es ergibt sich das vereinfachte Diagramm (2). Allerdings haben wir es hier offenbar mit Mehrfachkanten, also mit keinem schlichten Graphen zu tun. Das spielt aber bei der Lösung des Problems keine Rolle: Indem wir auf jede Mehrfachkante (oder sogar auf jede Kante) einen weiteren Knoten setzen, entsteht ein schlichter Graph (3). Nach einigem Probieren kommt man zu der Überzeugung, dass es dennoch keine Lösung gibt: Stets bleibt man nach ein paar Schritten in einem Stadtteil stecken, weil keine weiteren Brücken zur Verfügung stehen, um diesen wieder zu verlassen. Wir fragen daher: Wieviele zusätzliche Brücken müsste man bauen, um einen ” Eulerschen Rundweg” zu ermöglichen? Es ist naheliegend, dass an jeden Stadtteil eine gerade Anzahl von Brücken anschließen muß, damit man diesen stets wieder verlassen kann, nachdem man dort gelandet ist. Also bauen wir zwei weitere Brücken: ✓ ✏A ✛ ✒ ✓B ✚ ✓ ✏ ✘✛ ✑✞ ✌ ✏✝ D☞ ✙✚ ✒ ✑ ✒ ✑ C (4) A ❝ ✂ ❇❅ 4 2 3 ❇ ✂ 5 ❝ ❅❅ 1 B ✏ ❝ D ❅ ✂ ❇ 6 9 8 7 ❅❇ ❝ ✂ C Und jetzt ist ein Rundweg schnell gefunden. Würden wir auf eine der beiden zusätzlichen Brücken 1 oder 6 verzichten, so bliebe immerhin noch ein Weg zwischen zwei Endpunkten, bei dem alle Brücken einmal besucht werden. (5) 67
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