Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

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Aufgrund des letzten Satzes kann man die Wurzelbäume mit ” Stammbäumen” identifizieren; das sind Paare (B, w), die aus einem Baum B und einem festgewählten Knoten w bestehen. (Stammbäume ” wachsen in die Vergangenheit”!) Wurzelbäume und Wurzelwälder lassen sich ebenso einfach wie Bäume und Wälder rekursiv aufbauen, indem man die folgenden beiden Schritte iteriert: (A) Aus jedem Wurzelwald entsteht durch Hinzufügen eines disjunkten neuen Baumes ein neuer Wurzelwald. (B) Aus jedem Wurzelwald entsteht durch Hinzufügen einer Wurzel, die mit allen Wurzeln der Komponenten verbunden wird, ein Wurzelbaum. ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❅ (A) + = ❅ ❅ ❅ ❞ ❞ ❞ ❅ ❞ ❞ ❞ ❅ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❅ ❅ (B) ❞ ❞ ❞ ❅ ❞ ❞ ❞ ❅ + = ❅ ❅ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❅ ❅ ❅ ❅ Konstruktion (B) kann man noch erweitern, indem man auf jeden Knoten eines Wurzelbaumes einen weiteren Wurzelbaum ” aufpfropft”. Der nächste Satz ist anschaulich einleuchtend, bedarf aber doch eines Beweises: Satz 3.28 Eine maximal verkettete geordnete Menge ist genau dann ein Wurzelbaum, wenn sie ein kleinstes Element besitzt und jedes andere Element genau einen unteren Nachbarn (“Nachfolger”) hat. Beweis. Ist (X, ⊑) ein Wurzelbaum und (w =x 0 , ..., x l =y) der eindeutige Pfad von der Wurzel w nach y, so ist x l−1 der eindeutige untere Nachbar von y. Hat umgekehrt die maximal verkettete Menge (X, ⊑) das kleinste Element w und die genannte Nachfolge-Eigenschaft, so muss (Ψ) gelten: Zu x ⊑ z und y ⊑ z finden wir Pfade (z = x 0 , ..., x k = x) und (z = y 0 , ..., y l = y) mit x i ⊏ ∨ x i−1 für i ∈ k und y i ⊏ ∨ y i−1 für i ∈ l. Sei i der größte Index mit x i = y i . Im Falle i < k und i < l wäre dann auch noch x i+1 ⊏ ∨ x i und y i+1 ⊏ ∨ x i erfüllt, also x i+1 = y i+1 im Widerspruch zur Wahl von i. Also muss x ⊑ x i = y oder y ⊑ y i = x gelten. □ 80
Die Isomorphietypen von Bäumen mit maximal 7 Knoten Automorphismenzahl a und Anzahl i der isomorphen Kopien ❞ ❞ 1 1 1 = 1 −1 ❞ 2 1 1 = 2 0 ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ 720 7 ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ 2 3 ❅ 3 = 3 1 ❅ ❞ 6 ❞ 2 4 ❅ 12 ❅ 16 = 4 2 ❅ ❅ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ 24 ❞ 5 ✘ ✘✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘ 2 ❞ 2 ❳ 60 ❅ ❳ ❳ ❳❳ ❳ 60 ❅ ❅ ❳❳ ❅ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ 125 = 5 3 ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ 120 ❞ 6 ❞ 8 ❞ ❞ 2 ❞ 6 ✟ ✟ ✟ ✁ 120 ❆ ❳❳ ✟ ❳❳ ✟ ❳ 90 360◗ ❳❳ ❳❳ ✟ ✟ ✟ ✁✁ ✟ ❆❆ ❳❳ ◗◗◗ ✟ ✥ ✥✥✥✥✥✥✥✥✥✥✏ ✥ ❳ ✏ ❳ ❳ ❳ ❳❳ ✘✘ ✘✘ ✘ ✘✘ ✘ ✘✘ 2 ❞ ❞ 2 ✑ ✑ 360 ❇ 360 ❅ 1296 = 6 4 ✑ ❇❇ ❳ ✑ ❳ ❳ ❅ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ ❞ 24 12 ❞ 6 ❞ 8 ❞ 4 ❞ 2 ❞ 6 ❞ 1 ❞ 2 ❞ ❞ 2 210 420 840 630 1260 2520 840 5040 2520 2520 81 ❞ ❞ ❞ 16807 = 7 5
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