Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

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Die beiden Bilder in der ersten Spalte zeigen den Petersen-Graph (P 2 M, E) mit {x, y} ∈ E ⇔ x ∩ y = ∅ für eine fünfelementige Menge M. Hier ist P 2 M ausnahmsweise die Eckenmenge, nicht die Kantenmenge! Ein Isomorphismus zwischen den beiden Petersen-Graphen klappt die waagerechte Kante des Fünfecks und die beiden Fußpunkte des Sterns nach oben. Bei den beiden mittleren Graphen muss man nur die obere waagerechte Kante verschieben. Im dritten Fall (rechts) bildet man das Außenfünfeck im oberen Graphen auf das linke und das Innenfünfeck auf das rechte im unteren Graphen ab (oder umgekehrt). Sehr mühsam kann der Nachweis werden, dass zwei gegebene Graphen nicht isomorph sind, denn ohne schlaue Ideen müßte man bei n Ecken im Prinzip n! Bijektionen testen. Glücklicherweise gibt es aber eine Vielzahl von sogenannten Invarianten, die bei Isomorphie übertragen werden. Erweist sich eine dieser Invarianten für zwei vorgegebene Graphen als verschieden, so ist man sicher, dass diese nicht isomorph sein können – ohne eine einzige Bijektion auszuprobieren! Zwei offensichtliche Invarianten sind die Eckenzahl und die Kantenzahl ; denn ein Isomorphismus ϕ zwischen (X, E) und (X ′ , E ′ ) liefert nicht nur eine Bijektion zwischen den Ecken, sondern wegen ϕ + (E) = E ′ auch eine zwischen den Kanten. Die Komponentenzahl ist eine weitere Invariante, da ein Isomorphismus ϕ jeden Weg zwischen x und y auf einen Weg zwischen ϕ(x) und ϕ(y) abbildet. Eine feinere Invariante liefert die sogenannte Gradfolge. Die Zahl der zu einer Ecke x in einem Graphen G adjazenten Ecken nennt man Grad (degree) oder Valenz von x und bezeichnet sie mit d(x) oder genauer mit d G (x). Für endliche Graphen (X, E) gilt die nützliche Gleichung ∑ x∈X d(x) = 2|E|. Bei einer Ecke x eines Digraphen (X, R) unterscheidet man zwischen der positiven Valenz (Anzahl der hinauslaufenden Pfeile”) d + (x) = |{y | xR y}| und der negativen Valenz (Anzahl der hineinlaufenden Pfeile”) d − (x) = |{y | yR x}|. Die ” ” Gradfolge eines endlichen Graphen ist die Folge der einzelnen Eckengrade, meist in (schwach) monoton wachsender Reihenfolge notiert. Da Isomorphismen die Adjazenz übertragen, müssen isomorphe Graphen identische Gradfolgen haben. Im Gegensatz zu Beispiel 3.7 kann man bei weniger als fünf Ecken anhand der Gradfolgen entscheiden, ob zwei Graphen isomorph sind oder nicht. Beispiel 3.8 Isomorphietypen aller Graphen mit 4 Ecken ❝ ❝ 0 ❝ ❝ 0000 24 ❝ ❝ ❅ ❝ ❅ 6 ❝ 3333 ❝ ❝ 1 ❝ ❝ 0011 4 ❝ ❝ ❅ ❝ ❅ 5 ❝ 2233 ❝ ❝ 2 ❝ ❝ 0112 2 ❝ ❝ ❅ ❝ ❅ 4 ❝ 1223 ❝ ❝ 2 ❝ ❝ 1111 8 ❝ ❝ ❅ ❝ ❅ 4 ❝ 2222 ❝ ❝ ❅ ✟✙ ✟ Kantenzahl ❝ ❅ 3 ❝ ❝ ❝ ❄ 0222 3 6 ❝ ❝ ❝ ❝ 1122 2 ❝ ❆❑ 3 ❆ ❝ Automorphismen ✻ 1113 ✛ Gradfolge Je ein Paar komplementärer Graphen ist zu einem ” Dominostein” verbunden. Nur der letzte der viereckigen Graphen ist zu seinem Komplement isomorph. 64
Beispiel 3.9 Isomorphietypen und Anzahl aller Graphen mit 5 Ecken ❝ ▲ ❝ ❝ ▲▲ 0 ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ▲ ❝ 00000 1 ▲▲ ❝ 120 ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❈❩ ❈❝ ✂✚ ✂✂ ❇ 00011 ❇ ✚ ❩ ❇❝ ✄ 10 ❝ 12 ✄ ❝ ◗ ❝ ❝ ✄ ✄ 2 2 ❝ ❝ ❝ 44444 ❈❩ ❈❝ ✂✚ ✂✂ ❇ ❇ ✚ ❩ ❇❝ ✄ 01111 00112 9 ❝ 8 ❝ 4 ✄ ❝ ◗ ❝ 33444 ❈ ❩ ❈ ✚ ❝ ✂✂ ✂ ❇ ❝ ❝ ❇ 8 ❈ ✚❩ ❇❝ ❈ ❩ ✂ ✂ ❇ ❇ ❝ ✚ ✚ ❩ ❝ ✄ 8 ✂ ❇ ✄ 33334 23344 ✂ ✂ ❇ ✂ ✦✂ ✦✦✦✦✦✦ ✂ ❇ ✂ ❇ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ❝ ✄ ✄ 3 3 3 ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✂ ✂✂ 3 ❝ 01122 11112 00222 01113 ❝ 2 ❝ 4 ❝ 12 ❝ 6 ❝ ❝ ❈❩ ✂ ✂ ❇ ❝ ❝ ❇✚ 7 ❈ ❈❝ ✂✚ ❩ ❇❝ ❈ ❩ ✂ ✂ ❇ ❇ ❝ ✚ ✚ ❝ ❝ ❩ ❝ ✄ ✂ ❇ 7 ❈ ✄ ❈ ❩ ✂ ✂ ❇ ❝ ✚ ✚ ❝ ❝ ❇ ❩ ❝ ✄ ✂ ❇ 7 ❈ ✄ ❈ ❩ ❇ ❇ ❝ ✚ ✚ ❝ ✄ 7 ❩ ❇ ✄ 22334 23333 22244 13334 ❛ ✂ ❇ ❛❛❛❛❛ ❛ ❛❛❛❛❛ ✂ ❇❇ ✦✂ ✦ ✦✦✦✦✦ ✂ ❇ ✂ ❇ ✂ ❇❇ ✦✂ ❛ ✦✦✦✦✦✦ ✂ ❇❇ ✂ ❛ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ❝ ✄ ✄ 4 ❩ ❝ ❩ ❝ ✄ ✄ 4 ❝ ❝ ✄ ✄ 4 ✂ ✂ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✂ ❝ ✄ ✄ 4 4 ❝ ❝ ❝ ✂✂ ✂ ❇ ❇ 4 ❇❝ 11222 02222 01223 11123 11222 11114 ❝ 2 ❝ 8 ❝ 2 ❝ 2 ❝ 12 ❝ 24 ❝ ❝ ❈❩ ✂ ✂ ❇ ❝ ❝ ❇✚ 6 ❈ ✚ ❈❝ ✂✚ ❩ ❇❝ ❈❝ ✂ ✂✂ ❇ ❝ ❝ ❇ 6 ❈❩ ✂ ✂ ❇ ❝ ❇ ❝ ❝ ❝ ❇✚ 6 ❈❩ ❇✚ 6 ❈ ✚ ❇❝ ❈❝ ✂✚ ❩ ❇❝ ❈❝ ✚❩ ❇ ❝ ❈ ❩ ❝ ✚ ✂ ✂ ❇ ✚ ❝ ❝ ❇ ❝ ✄ ✂ ❩ ❇ 6 ❈ ✄ ❈ ❩ ❝ ✚ ✚ ❝ ✄ 6 ❩ ✄ 22233 22224 12234 12333 22233 03333 ❇ ❆✂ ❆ ❇ ✂ ❆ ❆ ❇ ✦✂ ❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵❵ ✦ ❆ ✦✦✦✦✦ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁❆ ✁ ❵ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ◗ ❝ ❝ ✑ ❝ ❈ ❈❝ ❝ ✄ ✄ 5 ❈ ❈❝ ❝ ✄ ✄ 5 ❈ ❈❝ ❝ ✄ ✄ 5 ❩ ❝ ✂✂ ✂ ❇ ✚ ✚ ❝ ❝ ❇ 5 ❈ ❩ ❇❝ ❈❝ ✚ ✚ ❝ ✑ ◗ ❝ ❝ ✄ ✄ 5 ❩ ❝ ✂✂ ✂ ❇ ❇ 5 ❩ ❇❝ 22222 10 11233 2 12223 2 12223 02233 4 11224 Die Verbindungskanten zwischen den einzelnen Dominosteinen bedeuten, dass die jeweilige obere Hälfte des höheren Steines in die des tieferen einbettbar ist, während es sich bei den unteren Hälften umgekehrt verhält. Nur die beiden Graphen in der linken unteren Ecke sind zu ihrem eigenen Komplement isomorph! 5!/a(G) 2 · 1 + 2 · 10 + 2 · 15 + 2 · 30 + 2 · 60 + 2 · 30 + 2 · 10 + 2 · 20 + 2 · 60 + 2 · 15 + 2 · 60 + 2 · 60 + 2 · 10 + 2 · 5 + 12 + 60 + 2 · 60 + 2 · 30 1024 = 2 10 65
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