Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

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Viele wichtige Eigenschaften von Graphen lassen sich durch Existenz oder Ausschluss bestimmter Teilgraphen charakterisieren. Spezielle induzierte Teilgraphen sind die sogenannten n-Ecke. Das sind die induzierten Teilgraphen mit n Ecken, die einen Zykel bilden. Ein Nachbarschaftsgraph ist stets ” dreiecksfrei”, d.h. er enthält keine Dreiecke als Teilgraphen. Kein Vergleichbarkeitsgraph enthält ein induziertes n-Eck mit einer ungeraden Kantenzahl n > 3. (Warum?) Unter einer Symmetrie oder einem Automorphismus eines Graphen (oder Digraphen) G vesteht man einen Isomorphismus zwischen G und sich selbst. Jeder Graph hat einen trivialen Automorphismus, nämlich die Identität id X . Die Automorphismen eines festen Graphen G bilden eine Gruppe, die Automorphismengruppe oder Symmetriegruppe Aut G = S(G). Offenbar besitzt ein Graph G = (X, E) stets genau die gleichen Symmetrien wir der komplementäre Graph G = (X, P 2 X \ E). Da die Summe der beiden Kantenzahlen von G und G bei n Ecken n(n − 1)/2 ergibt, kann ein Graph nur dann zu seinem Komplement isomorph sein, wenn seine Kantenzahl n(n − 1)/4 beträgt; das ist natürlich nur dann möglich, wenn n(n − 1)/2 gerade ist, also z.B. nicht für n = 2, 3, 6, 7 oder 10. Die Fälle n = 4 und n = 5 studieren wir in Kürze genauer. Beispiel 3.4 Ein zu seinem Komplement isomorpher Graph mit 8 Ecken 8 ❝ ❝ 1 ❛ ❝ ❛ 7 ☞ ☞ ❛ ❅❝ 2 ❛ ☞☞ ❛❛❛❛ 6 ❝ ☞ ❝ ❛ ❅ ❛ ❝ ☞☞ ☞ ☞☞ 3 ❛ ❝ ☞ 5 4 ϕ(7) ❝ ❝ ❝ ✦ ✦ ▲❅ ✦ ϕ(2) ϕ(4) ▲ ❝ ❅ ▲ ✦ ϕ(5) ❝ ✦ ✦✦✦ ❅ ▲ ▲ ❅ ▲ ϕ(1) ❅ ❝ ▲▲ ▲▲ ❝ ✦ ❅ ✦ ❝ ✦ ▲ ϕ(8) ϕ(6) ϕ(3) Bei strukturellen Untersuchungen eines Graphen G interessiert besonders a(G), die Anzahl der Automorphismen (Symmetrien) von G, und i(G), die Anzahl der zu G isomorphen Graphen mit gleicher Eckenmenge. Nach Satz 1.12 kann man jede dieser beiden Zahlen aus der anderen berechnen: Satz 3.5 Für jeden endlichen (Di-)Graphen G mit n Ecken gilt n! = a(G)i(G). Wieviele Graphen gibt es auf einer festen Menge von n Ecken? Offenbar genau so viele, wie es Teilmengen von P 2 n gibt, also 2 1 2 n(n−1) . Eine erheblich schwierigere Frage ist, wieviele Isomorphietypen von Graphen mit n Ecken es gibt. Wir können diese Anzahl g(n) hier nicht allgemein berechnen, notieren aber die ersten Werte: 62
n 1 2 3 4 5 6 g(n) 1 2 4 11 34 156 Für n = 1, 2, 3 sieht man das sofort; für n = 4 und n = 5 stellen wir in Kürze eine komplette Liste der Isomorphietypen auf. Aufgrund von Satz 3.5 erhält man allgemein durch Summation über alle Graphen G mit Eckenmenge n : g(n) = ∑ 1 i(G) = 1 n! ∑ a(G) insbesondere 1 n! 2 1 2 n(n−1) ≤ g(n) ≤ 2 1 2 n(n−1) . Obwohl n! schnell zu riesigen Zahlen anwächst, sind diese im Verhältnis zu den Zahlen 2 n(n−1)/2 aller Graphen mit n Ecken doch verschwindend klein: log 2 (n!) = ∑ n k=1 log 2(k) ≤ n log 2 (n) 2 1 2 n2 (1− 1 n − 2 log 2 n n ) ≤ 1 n! 2 1 2 n(n−1) ≤ g(n) ≤ 2 1 2 n2 (1− 1 n ) . Da der Term 2 log 2 n n Folgerung 3.6 für n → ∞ gegen 0 geht, haben wir: log lim 2 g(n) n→∞ n 2 = 1 2 . Zwei endliche Graphen sind genau dann zueinander isomorph, wenn sie eine übereinstimmende graphische Darstellung (eventuell mit unterschiedlicher Beschriftung der Knoten) besitzen. Es ist aber keineswegs immer einfach, von zwei Graphen anhand gegebener Zeichnungen festzustellen, ob sie isomorph sind – denn ein Graph kann sehr verschieden aussehende Darstellungen besitzen. Beispiel 3.7 Isomorph oder nicht? Von den nachfolgend skizzierten sechs Graphen mit jeweils 10 Knoten sind keine zwei in einer Reihe zueinander isomorph, während je zwei Diagramme in einer Spalte erstaunlicherweise gleiche bzw. isomorphe Graphen darstellen! ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ✑✑ ◗ ◗ ❝ ❝ ❝ ❝ ❩ ✂ ✂ ◗ ❇ ✏ ❝ ✑ ✑✑ ◗ ◗ ❝ ❇❇ ❇ ❝ ✚ ✚ ✂ ❝ ❝ ❝ ❇ ❇ ✂ ❩ ❇❝ ✂ ❇❝ ✂✂ ✂ ◗ ❇ ✏ ❝ ✑ ✑✑ ◗ ◗ ❇❇ ❇ ❇ ❇❝ ✂ ✂ ✂ ❝ ✑ ◗ ◗ ❝ ✏ ❝ ❇❇ ❇ ✂ ❇❝ ❝ ✂ ✂ ✂ ❇ ✂ ❇❝ ✁ ❆❝ ✂ ❇❝ ✁ ❆❝ ✂ ❇❝ ✁ ❆❝ ✂ G 1 ❝ ❝ ✁ ❝ ❆ ❝ ✁✧ ✧ ❜❜ ❝ ❜ ❆ ❝ ❆ ❝ ✧ ❜ ❝ ❜ ✁ ❆❝ ✧ ✧✧ ❜ ❝ ✁ G 2 ❝ ❝ ✁ ❝ ❆ ❝ ✁✧ ✧ ❜❜ ❝ ❜❆ ❝ ❆ ❝ ✧ ❜ ❝ ✁ ❆❝ ❝ ✁ G 3 ❝ ❝ ✁ ❚ ❝ ✧ ❆ ❝ ✁ ❚ ❝ ❚ ❆ ❝ ❆ ❝ ✧ ❚ ❝ ✁ ❆❝ ❝ ✁ 63
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