Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Nachfolgerfunktion) hat man zwar n Möglichkeiten, den Endpunkt zu wählen,
aber nur noch n−k Möglichkeiten bei der Auswahl des Anfangspunktes (denn
von jedem Punkt darf höchstens ein Pfeil ausgehen, und nach dem k-ten Schritt
hat man k Pfeile und n − k Komponenten. Insgesamt gibt es also
∏ n−1
k=1
n(n − k) = (n−1)! nn−1
Möglichkeiten der nummerierten Kantenwahl. Am Schluss ist ein Wurzelbaum
entstanden, dessen Kanten mit einer Permutation der Zahlen von 1 bis n−1
belegt sind, und jeder ”
kanten-nummerierte” Wurzelbaum ensteht so genau einmal.
Da es (n−1)! solche Permutationen gibt, bleiben nach Entfernen der Nummerierung
der Kanten n n−1 Wurzelbäume. Damit ist der Satz von Cayley zum
zweiten Mal bewiesen.
Die vielleicht eleganteste Codierung von Bäumen geschieht mit Hilfe des
sogenannten Prüfer-Codes. Die simple, aber wirkungsvolle Grundidee besteht
darin, schrittweise die Blätter mit den kleinsten Nummern abzupflücken und
gleichzeitig die Folge der zum jeweiligen Blatt benachbarten Knoten zu notieren,
bis nur noch zwei Knoten übrigbleiben. (Aufgrund unserer Konvention sind die
Nummern die Blätter selbst.)
Satz 3.35 Zu einem gegebenen Baum G = (n, E) definiere man induktiv zwei
Folgen (b i | i = 1, ..., n−2) und (a i | i = 1, ..., n−2) durch die Festlegung, dass
b i das kleinste Blatt des Baumes G i = G − {b j | j < i} und a i sein Nachbar
in G i ist. Auf diese Weise erhält man eine Bijektion zwischen der Gesamtheit
aller Bäume mit der Knotenmenge n und der Menge n n−2 aller (n−2)-stelligen
Folgen (a 1 , ..., a n−2 ) mit Werten in n.
Dies bestätigt wiederum den Satz von Cayley. Die oben konstruierte Folge
(a 1 , ..., a n−2 ) heißt Prüfer-Code des Baumes G. Um Satz 3.35 zu begründen,
müssen wir uns vergewissern, dass jede Folge (a 1 , ..., a n−2 ) in n wirklich als
Prüfer-Code eines eindeutig bestimmten Baumes auftritt. Zu diesem Zweck rekonstruieren
wir den gesuchten Baum wie folgt. Wir setzen a n−1 := a n−2 und
bestimmen die zugehörigen Blätter rekursiv durch die Vorschrift, dass der Knoten
mit der nächsten Nummer der Folge mit einem neuen Blatt verbunden wird,
das die kleinste noch nicht verbrauchte Nummer erhält. b i ist also das kleinste
Element der folgenden Restmenge:
n \ {b 1 , ..., b i−1 , a i , a i+1 , ..., a n−1 } (i = 1, ..., n−1).
Der letzte Knoten b n ist dann der noch übrig gebliebene, und die Kanten des
Baumes sind die Zweiermengen a i b i (i = 1, ..., n−1).
Beispiel 3.36 Wir betrachten die Folge (3, 7, 3, 7, 3) und bauen schrittweise
den zugehörigen Baum mit der Knotenmenge 7 auf:
5 = min(7 \ {1, 2, 3, 4, 7})
b i 1
2
4
5
6
7
a i
85
3
7
3
7
3
3