Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

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3.1 Isomorphie Von essentieller Bedeutung in der Graphentheorie ist wie bei allen strukturellen Untersuchungen die Frage, wann zwei Graphen oder Digraphen ” im Wesentlichen gleich” sind, d.h. durch geeignete Umbenennung ihrer Elemente auseinander hervorgehen. Hierzu braucht man wieder den Begriff der Isomorphie (Gleichgestaltigkeit), den wir in Kapitel 1 schon kennengelernt haben. Es seien zwei Digraphen (X, R) und (X ′ , R ′ ) gegeben. Dann heißt eine Abbildung ϕ : X −→ X ′ • inzidenz-erhaltend, falls xR y ⇒ ϕ(x)R ′ ϕ(y) • inzidenz-reflektierend, falls xR y ⇐ ϕ(x)R ′ ϕ(y) • Quasi-Einbettung, falls xR y ⇔ ϕ(x)R ′ ϕ(y) für alle x, y ∈ X gilt. Eine Einbettung ist eine injektive Quasi-Einbettung, und ein Isomorphismus eine bijektive Einbettung. Entsprechend ist ein Isomorphismus zwischen Graphen (X, E) und (X ′ , E ′ ) eine Bijektion ϕ:X −→ X ′ mit xy ∈ E ⇔ ϕ(x)ϕ(y) ∈ E ′ . Die Bezeichnungen ϕ + (R) = {(ϕ(x), ϕ(y)) | xR y} und ϕ − (R ′ ) = {(x, y) ∈ X×X | ϕ(x)R ′ ϕ(y)} erlauben folgende kurze Charakterisierungen der obigen Eigenschaften: ϕ ist inzidenz-erhaltend ⇔ R ⊆ ϕ − (R ′ ) ⇔ ϕ + (R) ⊆ R ′ ϕ ist inzidenz-reflektierend ⇔ R ⊇ ϕ − (R ′ ) ϕ ist eine Quasi-Einbettung ⇔ R = ϕ − (R ′ ) ϕ ist eine Einbettung ⇔ R = ϕ − (R ′ ) und ϕ ist injektiv ϕ ist ein Isomorphismus ⇔ R = ϕ − (R ′ ) und ϕ ist bijektiv. Zwei Graphen bzw. Digraphen G und G ′ heißen isomorph, in Zeichen G ≃ G ′ , falls ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert. Dies liefert wie bei jedem Isomorphiebegriff eine Äquivalenzrelation. Die Isomorphieklassen oder speziell ausgewählte Vertreter dieser Klassen nennt man auch Isomorphietypen. Die anschaulich einleuchtende Tatsache, dass zwei endliche geordnete Mengen genau dann isomorph sind, wenn sie gleiche Darstellungen durch Diagramme haben, lässt sich dahin gehend präzisieren und verallgemeinern, dass die Isomorphie maximal verketteter geordneter Mengen äquivalent zur Isomorphie ihrer Nachbarschaftsdiagramme ist. Beispiel 3.2 Nicht-isomorphe geordnete Mengen und Graphen Wir betrachten auf der Menge X = {1, 2, 3, 6} die Teilbarkeitsrelation |, die gewöhnliche lineare Ordnung ≤ und die nicht totale Ordnung x ⊑ y ⇔ x ≤ y und (1, 2) ≠ (x, y) ≠ (3, 6). So erhalten wir drei geordnete Mengen G = (X, |), G ′ = (X, ≤), G ′′ = (X, ⊑). Die Identität id X : X → X ist dann 60
inzidenz-erhaltend, aber nicht -reflektierend als Abbildung von G bzw. G ′′ in G ′ inzidenz-reflektierend, aber nicht -erhaltend als Abbildung von G ′ in G bzw. G ′′ weder inzidenz-erhaltend noch -reflektierend als Abbildung von G in G ′′ . Denn es gilt x | y ⇒ x ≤ y und x ⊑ y ⇒ x ≤ y, aber weder x | y ⇒ x ⊑ y noch x ⊑ y ⇒ x | y (betrachte x = 1 und y = 2 bzw. x = 2 und y = 3). ❝ 6 6 ❝ ✏ ✏ ✏✶ 2❵ 3 6 ❵❵❵❵ ❝ ❝ ❝ 3 ❝ ✡ ❏ 3 G ✘ ✘✘ ✘✿ ✭✾ ✭✭ ❝2 ✡ ❏ ❝ ✡ ❝ ❏❏ G′ ✡ G ′′ 2 2❤ ❝ ❝ 1 ❝ ✥✾ ✥ ❤❤ ✡ ❏ ✥✥✥ 2 1 1 Es gibt keine inzidenz-erhaltende Bijektion zwischen den Nachbarschaftsgraphen von G (bzw. G ′′ ) und G ′ , während die Nachbarschaftsgraphen der nichtisomorphen geordneten Mengen G und G ′′ isomorph sind (1 und 3 vertauschen)! 6 ❝ 3 ❝ ✡ ❏ ❝2 ❏ ❝ ✡ 1 ≃ 3 ❝ ❏❏ ❏ ✡ ✡ ❝ ✡ 2 Ein Graph T ist Teilgraph eines Graphen G, wenn sowohl die Eckenmenge als auch die Kantenmenge von T in der jeweiligen von G enthalten ist. Das bedeutet nichts anderes, als dass die Inklusionsabbildung von T in G (die jede Ecke auf sich selbst abbildet) die Inzidenz erhält. Ist sie sogar eine Einbettung, so spricht man von einem induzierten (Teil-)Graphen. Analog bildet man für Digraphen (X, R) und Teilmengen Y ⊆ X die von R auf Y induzierte Relation R| Y = R ∩ (Y ×Y ) und nennt (Y, R| Y ) einen induzierten Digraphen. Für einen Graphen G = (X, E) und eine Eckenmenge Y ⊆ X wird der auf X \ Y induzierte ”Restgraph” mit G − Y bezeichnet. Entsprechend bezeichnet man für eine Kantenmenge K ⊆ E den Graphen (X, E \ K) mit G − K. Beispiel 3.3 Einige Teilgraphen des vollständigen Graphen mit 5 Ecken ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❈❩ ❈❝ ✂✚ ✂✂ ❇ ✚ ❝ ✑ ◗ ❝ ❇ ❩ ❇❝ ✄ ❩ ✄ ❝ ✂✚ ✂✂ ❇ ❇ ✚ ❝ ❝ ❈ ❩ ❇❝ ❈❝ ✚ ✚ ❝ ❝ ❩ ❩ ❝ ✄ ❈ ✄ ❈❝ ✚ ✚ ❝ ✄ ✄ ❝ ✂ ✂✂ ❇ ❝ ❝ ❝ ✑ ◗ ❝ ❇ ❈❩ ❇❝ ❈❝ ✚ ✚ ❝ ✄ ❩ ✄ (a) (b) (c) (d) (e) (f) (a) Gleiche Eckenmenge, nicht induziert. (b) Verschiedene Eckenmenge, induziert. (c) Teilgraph, verschiedene Eckenmenge, nicht induziert. (d) eingebettet in (a), (b), (c), aber kein Teilgraph von (a), (b) oder (c). (e) Restgraph nach Entfernen der Knoten aus (d). (f) Restgraph nach Entfernen der Kanten aus (d). 6 ❝ ❝ 1 61
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