Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Kanten oder Pfeile interpretiert weren) und einer ”
Gewichts- oder Bewertungsfunktion”
C von R in eine Menge, in der Addition und Subtraktion möglich
sind; wir nehmen hierfür der Einfachheit halber stets die reelle Gerade R (aber
auch der R n oder andere Vektorräume bzw. Gruppen sind gute Kandidaten).
Hat C nur nichtnegative Werte, so spricht man von einer Kapazitätsfunktion.
Beispielsweise kann man mit Hilfe einer solchen Funktion Digraphen mit Mehrfachkanten
codieren, indem man jedem (x, y) ∈ R die Anzahl der Kanten zwischen
x und y zuordnet. Manchmal ist es bequem, C auf das ganze Produkt
X × X fortzusetzen, indem man C(x, y) = 0 für (x, y) ∈ R c = X ×X \ R setzt.
Für beliebige Funktionen F : R −→ R und Teilmengen S ⊆X definieren wir:
R S := R ∩ (S × (X \ S)) (Schnitt zwischen S und X \ S)
F + (S) := ∑ p∈R S
F (p)
F − (S) := F + (X \ S)
F ∼ (S) := F + (S) − F − (S)
(Strömung aus S heraus)
(Strömung nach S hinein)
(Strömung zwischen S und X \ S).
Wir schreiben F + (x) statt F + ({x}), F − (x) statt F − ({x}) und F ∼ (x) statt
F ∼ ({x}). Eine kurze Rechnung zeigt:
F ∼ (S) = ∑ s∈S F ∼ (s),
F ∼ (S ∪ T ) = F ∼ (S) + F ∼ (T ) für disjunkte Teilmengen S und T von X.
Sind zwei feste Knoten x, y eines Netzwerks N = (X, R, C) gegeben, so nennt
man eine Funktion F : R −→ R einen Fluss von x nach y, falls
(1) 0 ≤ F (p) ≤ C(p) für alle Paare p ∈ R und
(2) F ∼ (z) = 0 für alle z ∈ X \ {x, y}.
Da für einen Fluss F von x nach y die von x und y verschiedenen Knoten keinen
Beitrag zu F ∼ leisten, ist die Zahl
F ∼ (x) = F ∼ (S) = −F ∼ (X \ S) = −F ∼ (y)
konstant für alle ”
Schnittmengen” S ⊆X mit x ∈ S und y ∉ S. Falls dieser Wert
größtmöglich ist, nennt man F einen maximalen Fluss von x nach y. Aufgrund
der Bedingung (1) gilt für jede Schnittmenge S die Ungleichung
F ∼ (S) ≤ F + (S) ≤ C + (S).
Die Zahl C + (S) = ∑ p∈R S
C(p) nennt man die Kapazität des Schnittes R S .
93