Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Wurzelbäume und -wälder werden vielfach auf den Kopf gestellt (dualisiert). Die
Diagrammdarstellung liefert dann ein nach unten verzweigtes Wurzelgeflecht.
Vorsicht! Bei einem dualisierten Baum sind die Vorgänger” die Nachfolger!
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Wie hängen die Bäume der Graphentheorie mit den Wurzelbäumen der Ordnungstheorie
zusammen? Erinnern wir uns daran, dass der Nachbarschaftsgraph
(X, E) einer geordneten Menge (X, ⊑) durch Symmetrisierung der Nachbarschaftsrelation
⊏ ∨ entsteht, also indem man nur die ungerichteten Kanten zwischen
benachbarten Elementen betrachtet:
E = {xy | x ⊏ ∨ y}.
Satz 3.27 Der Nachbarschaftsgraph eines Wurzelbaumes (X, ⊑) ist ein Baum,
und die Ordnung ist durch diesen Baum und die Wurzel w festgelegt:
(W) x ⊑ y ⇔ x liegt auf dem Pfad von w nach y.
Umgekehrt gibt es zu jedem Knoten w eines Baumes B = (X, E) genau einen
Wurzelbaum mit Wurzel w, dessen Nachbarschaftsgraph B ist, nämlich den
durch (W) definierten. Aus jedem Baum mit n Knoten entstehen also genau
n Wurzelbäume durch Festlegung der Wurzel.
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1
❝ 5
❝ 4
❝ ❝
2 3
3 ❝ ❝ 4
❅ ❝ 2
w = 1
❝ 5 ❝ 5
❝ 5 1 ❝ ❝ 4 ❝ ❝
1 ❝ ❝ 4 ❝ ❅ 3 ❝ 1 3
❅ 2 ❝ 2
❅ ❅
w = 2 w = 3 w = 4
❝ 1
❅ ❝2
❝ 3
❝ 5 ❝ 4
w = 5
Beweis. Für einen Wurzelbaum (X, ⊑) ist der Graph (X, E) mit E = {xy|x⊏ ∨ y}
wegen der maximalen Verkettung zusammenhängend. Wäre (x 0 , x 1 , ..., x l = x 0 )
ein Kreis in (X, E) minimaler Länge, so könnte nicht für jedes i < l die Beziehung
x i ⊏ ∨ x i+1 gelten (sonst wäre x 0 ⊏ x l ), also gibt es ein i mit x i−1 ⊏ ∨ x i
und x i+1 ⊏ ∨ x i (wobei x −1 = x l−1 und x l+1 = x 1 zu setzen ist). Aber wegen
der Bedingung (Ψ) wäre dann x i−1 mit x i+1 vergleichbar, und x i wäre zu einem
dieser Elemente nicht benachbart. Also kann (X, E) keine Kreise enthalten.
Nun sei B = (X, E) ein Baum und w ein fest gewählter Knoten. Wir definieren
eine Relation ⊑ auf X durch (W) und beachten, dass es nach Satz 3.21
stets einen eindeutigen Pfad zwischen w und y gibt. Die Relation ⊑ ist offenbar
reflexiv und transitiv. Antisymmetrisch ist sie wegen der Nichtexistenz von
Kreisen: Im Falle x ⊏ y ⊏ x gäbe es einen geschlossenen Weg durch x und y,
und dieser enthielte einen Kreis. Die so entstehende geordnete Menge (X, ⊑) ist
ein Wurzelbaum mit Wurzel w, denn nach Definition gilt w ⊑ y für alle y ∈ X,
und im Falle x ⊑ z und y ⊑ z liegen x und y auf dem Pfad von w nach z,
und es folgt x ⊑ y oder y ⊑ x. Der Nachbarschaftsgraph der Ordnung ⊑ ist der
ursprüngliche Baum B (wegen der Eindeutigkeit der verbindenden Pfade). □
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