Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Beispiel 3.48 Ein Fluss und vier Schnitte
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x ❅❘0 ❝ ✠2 ❅■ 1 ❝
❅❘2 ❝ ✒1
❅❘ 3
y
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x ❅❘0 ❝ ✠2 ❅■ 1 ❝
❅❘2 ❝ ✒1
❅❘ 3 y
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❅❘1 ❝ ✒ 1
Die Zahlen an den Pfeilen geben die Werte eines maximalen Flusses von x nach
y an, wobei die Kapazitätsfunktion C z.B. gleich F sein könnte, aber auch
C(p) = 1 für F (p) = 0 und C(p) = F (p) sonst
ist eine von vielen möglichen Vorgaben für C. Hier gilt für jeden Schnitt S
zwischen x und y:
F ∼ (S) = 3 ≤ C + (S).
Beispiel 3.49 Die charakteristische Funktion C : R −→ {0, 1} einer Relation
R (und im Falle X = n deren Inzidenzmatrix) ist gegeben durch
C(p) = 1 ⇔ p ∈ R.
In dieser Situation ist C + (x) = d + (x) die positive Valenz und C − (x) = d − (x)
die negative Valenz von x ∈ X.
In einem zusammenhängenden endlichen Digraphen ist die Bedingung
C ∼ (z) = 0 für z ∈ X\{x, y} in Verbindung mit C ∼ (x) = 1 und C ∼ (y) = −1 notwendig
und hinreichend für die Existenz eines gerichteten offenen Euler-Weges
von x nach y (vgl. Satz 3.15). C ist dann ein maximaler Fluss von x nach y.
Bei der algorithmischen Konstruktion maximaler Flüsse braucht man so genannte
F -vermehrende Pfade. Damit sind Pfade (x 0 , ..., x k ) mit der Eigenschaft
gemeint, dass für jedes i ∈ k gilt:
(→) p i = (x i−1 , x i ) ∈ R und F (p i ) < C(p i ) (Vorwärtspfeil) oder
(←) p i = (x i , x i−1 ) ∈ R und F (p i ) > 0 (Rückwärtspfeil).
Jetzt sind wir in der Lage, das wichtige Max-Flow-Min-Cut Theorem von Ford
und Fulkerson zu formulieren (und im Wesentlichen auch zu begründen), das
den grundlegenden Zusammenhang zwischen Flüssen und Schnitten herstellt:
Satz 3.50 Für zwei Knoten x, y eines endlichen Netzwerks N = (X, R, C) und
einen Fluss F zwischen x und y sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) F ist ein maximaler Fluss von x nach y.
(b) Es gibt keinen F -vermehrenden Pfad von x nach y.
(c) F ∼ (S) = C + (S) für (mindestens) einen Schnitt R S zwischen x und y.
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