Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Der maximale Wert von Flüssen zwischen x und y ist also gleich der minimalen
Kapazität von Schnitten zwischen x und y.
Beweisskizze. (a)⇒(b): Gäbe es einen F -vermehrenden Pfad (x 0 , ..., x k ) von x
nach y, so könnte man das Minimum
M := min({C(p i ) − F (p i ) | p i = (x i−1 , x i )∈R} ∪ {F (p i ) | p i = (x i , x i−1 )∈R})
zu allen Werten F (p i ) mit (→) addieren und von allen Werten F (p i ) mit (←)
subtrahieren und bekäme so einen neuen Fluss (nachprüfen!), der einen um M
größeren Wert als F hätte.
(b)⇒(c): Man betrachtet die Menge S aller Knoten, die von x aus über einen
F -vermehrenden Pfad erreichbar sind. Dann ist
F (p) = C(p) für p ∈ R S ,
F (p) = 0 für p ∈ R X\S .
Daher hat F ∼ (S) den maximal möglichen Wert C + (S).
(c)⇒(a) ist wegen der für alle Flüsse F gültigen Ungleichung F ∼ (S) ≤ C + (S)
klar.
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Die Aussagen des Satzes von Ford und Fulkerson lassen sich leicht in einen
Algorithmus umfunktionieren, der zugleich einen maximalen Fluss und einen
minimalen Schnitt zwischen gegebenen Knoten x und y produziert. Die Details
hierzu findet man z.B. in dem Buch Diskrete Mathematik von Ihringer.
Die ”
gerichtete Kantenversion” des Satzes von Menger ergibt sich nun als
ein relativ einfacher Spezialfall: Alle Kanten haben die Kapazität 1. Hat man k
kantendisjunkte gerichtete Pfade von x nach y, so definiert man F (p) = 1 für alle
Kanten dieser Pfade, und ansonsten F (p) = 0. Das ergibt einen Fluss vom Wert
k, und umgekehrt kann sich überlegen, dass jeder solche Fluss F : R −→ {0, 1}
vom Wert k zwischen x und y auf diese Weise entsteht. Andererseits ist die
Kapazität eines Schnittes S zwischen x und y die Anzahl der von S nach X \ S
laufenden Kanten, und dies ist eine x und y trennende Kantenmenge (in dem
Sinne, dass jeder gerichtete Pfad von x nach y eine Kante aus dieser Menge
benutzt). Damit gelangen wir zu folgender Variante des Satzes von Menger:
Satz 3.51 Die Maximalzahl kantendisjunkter gerichteter Pfade zwischen zwei
Knoten eines endlichen Digraphen ist gleich der minimalen Mächtigkeit aller
Kantenmengen, die diese beiden Knoten trennen.
Die ”
Knotenvariante” dieses Satzes kann man durch ”
Auseinanderziehen”
der Knoten zu neuen Kanten ableiten.
Schließlich erwähnen wir noch eine wichtige ordnungstheoretische Variante
der vorangehenden Aussagen, den Satz von Dilworth (1950): Darin ist mit einer
Kette eine Menge paarweise vergleichbarer Elemente gemeint (die also x ⊑ y
oder y ⊑ x erfüllen), während ”
Antikette” eine Menge paarweise unvergleichbarer
Elemente bedeutet (für die also weder x ⊑ y noch y ⊑ x gilt).
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