Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

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7 \ {3, 7} 7 \ {1, 3, 7} 7 \ {1, 2, 3, 7} 7 \ {1, 2, 3, 4, 7} 7 \ {1, 2, 3, 4, 5} 7 \ {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 ❞ ❅ ❞ 3 1 ❞ ❅ ❞ 3 ❞ 2 ❞ 7 ❞ 1 2 ❞ ❞ 7 ❞ 4 ❅ ❞ 3 ❞ 1 5 ❞ ❞ ❞ 7 ❞2 4 ❅ ❞ 3 ❞ 5 ❞ 1 ❞ ❞ 7 ❞2 4 ❅ ❞ 3 ❞ 6 ❞ 5 ❞ 1 ❞ ❞ 7 ❞2 4 ❅ ❞ 3 ❞ 6 Minimales Abblättern” führt auf die ursprüngliche Codierung: ” ❞ 5 ❞ ❞ 5 ❞ ❞2 ❞2 1 ❞ ❞ 7 4 ❅ 3 ❞ 6 7 4 ❞ 3 ❞ 6 ❞ 5 ❞ 7 ❞ 4 3 ❞ 6 ❞ 5 ❞ 7 ❞ 7 3 ❞ 3 ❞ 6 7 ❞ 3 ❞ 6 Eine andere, ebenfalls anschauliche Codierungsmethode für Bäume ist die Konstruktion von “Wirbeltieren”. Am einfachsten läßt sie sich anhand von Wurzelbäumen erklären. Wir wählen außer der Wurzel w noch einen beliebigen weiteren “Wirbel” w ′ aus. Ein Wirbeltier ist also ein Baum zusammen mit zwei speziellen Knoten (die auch gleich sein dürfen). Den eindeutigen Pfad (w = w 0 , ..., w k = w ′ ) zwischen w und w ′ betrachten wir als “Wirbelsäule”. ✓✏ ❜ ❜ ❜ ❜ ❩ ❆ ✒✑ ✄❝ ♣❝♣❝♣ ❜ ❜ ❜ ❜ ❝❤❤ w ❦ ′ 4 ✲ ❩ 5 ❆❝❳ ✄ ❳❳3 ❝✟ ✟ f ❈❈ ❝ 2 ✲ 4 ❜ ❜ ❜ ❜ ❡✄ ✄ 3 ✲ 3 ❜ ❜ ❜ ❏❏ ❜ ❇❝ ✂❝ ❈ ❤ ❈ ❏❏ ❇ ✂ ❤❤❤ ❝ ❛ 1 ✲ 2 ❝❤❤❤❤ ❝ ❳❳ ◗◗◗ ✄ ✄ ❳ ❳ ✐w 5 ✲ 1 f Wir nehmen als Knotenmenge m und ordnen die Wirbel der Größe nach, bestimmen also die Permutation f der Wirbelsäule mit f(w 0 ) < f(w 1 ) < ... < f(w k ). Für alle Knoten x außerhalb der Wirbelsäule sei f(x) der eindeutige Nachfolger von x (auf dem Pfad nach w). Auf diese Weise entsteht eine Funktion f : m −→ m, die das gegebene Wirbeltier eindeutig codiert. Umgekehrt kann man aus jeder Funktion f : m −→ m ein Wirbeltier konstruieren, das mit dem obigen Verfahren wieder die ursprüngliche Funktion liefert. Dazu betrachtet man die Gesamtheit W aller “periodischen Elemente”, d.h. aller x, für die es ein k ∈ N mit f k (x) = x gibt. Das wird die Wirbelsäule: ihre Elemente werden “herumgewirbelt”, d.h. f induziert eine Permutation auf W . (Wegen f k (f(x)) = f(f k (x)) = f(x) für x = f k (x) bildet f die Menge W in 86
sich ab, und zu x, y ∈ W mit f(x) = f(y) gibt es k und l mit f k (x) = x und f l (y) = y, also x = f kl (x) = f kl (y) = y. Somit ist f| W injektiv und daher als Abbildung auf der endlichen Menge W sogar bijektiv.) Als Teilmenge von m ist W durch die gewöhnliche ≤-Relation geordnet. Wir definieren nun eine neue Ordnung auf m, indem wir x ⊑ y setzen, falls x und y beide zu W gehören und f(x) ≤ f(y) gilt, oder falls x nicht in W liegt und y = f k (x) für ein geeignetes k gilt. Dann ist (m, ⊑) ein Wurzelbaum, dessen Wurzel das kleinste Element von W ist, während man für w ′ das größte Element von W bezüglich ⊑ zu nehmen hat. Aus diesen Überlegungen resultiert Satz 3.37 Indem man jedem Wirbeltier, also jedem Tripel (G, w, w ′ ), bestehend aus einem Baum und zwei Knoten, die obige Funktion f zuordnet, erhält man eine Bijektion zwischen Wirbeltieren und Funktionen von m in m. Es gibt also genau m m Wirbeltiere und m m−1 Wurzelbäume mit der Knotenmenge m. Das bestätigt den Satz von Cayley, da man m 2 Möglichkeiten hat, die beiden Endwirbel w und w ′ auszuwählen. Schließlich erwähnen wir ohne Beweis (der einige Tricks der linearen Algebra benutzt) eine geniale Formel, welche für einen beliebigen zusammenhängenden Graphen die Anzahl seiner Spannbäume oder Gerüste, d.h. aller Teilbäume mit gleicher Knotenmenge, angibt. Satz 3.38 Für einen endlichen Graphen G = (n, E) ist die Laplace-Matrix Q G = (q ij ) ∈ Z n×n definiert durch q ii = d G (i), q ij = −1 für ij ∈ E und q ij = 0 sonst. Der Betrag der Determinante jeder Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte von Q G entsteht, gibt die Anzahl der Spannbäume von G an. Für den vollständigen Graphen G = K n ergibt dies wieder die Zahl n n−2 . Beispiel 3.39 Ein Graph und seine 15 Spannbäume ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ⎛ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ⎞ 2 −1 −1 0 0 0 ⎛ ⎞ −1 2 0 −1 0 0 2 0 −1 0 0 Q G = −1 0 3 −1 −1 0 0 3 −1 −1 0 ⎜ 0 −1 −1 3 0 −1 , Q 11 = ⎜−1 −1 3 0 −1 ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 0 0 −1 0 2 −1⎠ 0 −1 0 2 −1⎠ , | det Q ij|= 15. 0 0 −1 −1 2 0 0 0 −1 −1 2 ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ ❝ 87
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