Kapitel 3 - Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik

Genauer gesagt: Ist G = (X, E) Hamiltonsch, so auch jeder Graph G ′ = (X, E ′ )
mit E ⊆ E ′ . Man wird also versuchen, untere Abschätzungen für die Eckengrade
zu finden, die eine Hamilton-Tour garantieren. Das beste bekannte Kriterium
ist der folgende Satz von Chvátal (1972):
Satz 3.17 Erfüllt die aufsteigende Gradfolge (d 1 , ..., d n ) eines Graphen G =
(X, E) mit n ≥ 3 Ecken für alle i < n 2
die Bedingung
(1) d i > i oder d n−i ≥ n−i (d.h. max{d i −i−1, d n−i −n+i} ≥ 0),
so gilt:
(2) E = P 2 X, oder es gibt ein xy ∈ P 2 X \ E mit d(x) + d(y) ≥ n.
(3) G ist Hamiltonsch.
Beweis. (2) Wir betrachten eine Nichtkante” xy ∈ P ” 2 X \ E mit maximaler
Gradsumme d(x) + d(y) und d(x) ≤ d(y). Unter der Annahme d(x) + d(y) < n
ist i := d(x) < n 2
. Die Menge
Z = X \ {x} \ Ey = {z ∈ X | z ≠ x, zy ∉ E}
hat wegen
|Z| = |X| − 1 − |Ey| = n − 1 − d(y) ≥ d(x) = i
mindestens i Elemente z, die wegen zy ∈ P 2 X \ E und der maximalen Wahl
von d(x) + d(y) allesamt d(z) ≤ d(x) = i erfüllen müssen. Daher gilt für das i-te
Glied der aufsteigenden Gradfolge d i ≤ i, und (1) liefert n−i ≤ d n−i ≤ ... ≤ d n ,
d.h. es gibt mindestens i + 1 Elemente w mit d(w) ≥ n−i, darunter mindestens
eines, das nicht mit x verbunden ist (wegen d(x) = i). Aber dann wäre doch
d(x) + d(y) ≥ d(x) + d(w) ≥ i+ n−i = n.
(3) Angenommen, es gäbe ein Gegenbeispiel G = (X, E) mit maximaler Kantenmenge
E ≠ P 2 X. (Der Fall E = P 2 X wurde in Beispiel 3.16 (2) erledigt.)
Wir wählen gemäß Teil (2) ein xy ∈ P 2 X \ E mit d(x) + d(y) ≥ n. Dann hat
der erweiterte Graph G + xy = (X, E ∪ {xy}) einen Hamilton-Kreis, und nach
Wegnahme der Kante xy bleibt ein Hamilton-Pfad (x 0 , x 1 , ..., x n ) von x nach y
übrig. Die Mengen
I = {i ∈ n | xx i+1 ∈ E} und J = {j ∈ n | yx j ∈ E}
haben wegen |I| + |J| = d(x) + d(y) ≥ n ein gemeinsames Element i, denn die
Vereinigung I ∪ J ist in n−1 enthalten (beachte xy ∉ E). Und nun erweist sich
(x = x 0 , x i+1 , x i+2 , ..., x n = y, x i , x i−1 , ..., x 0 ) doch als Hamilton-Kreis in G. □
x i
❝ ❞ ❝ ❞
x i+1
x i−1 ❝ ❞
▲
❝
❝
❛ ☞☞ x i+2
❞❝ I
▲ ❅
☞ J
❝
❝
▲ ☞ ☞☞
x 1 ☞
❛ ☞ x n−1
❅ ❝ ❞
❛
❝ ☞
x = x .......
▲ ☞
0 x n = y
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