V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

(abgeschlossene Mengen sind genau die Mengen, die bzgl. Limites abgeschlossen sind). Beweis:
Übung. Aus dieser Bemerkung folgt, dass in metrischen Räumen der Abschluss von A ⊂ X
durch
A = {x ∈ X : ∃ (x n ) n∈N Folge in A mit x n → x als n → ∞}
gegeben ist. Deswegen ist A ⊂ X auf metrischen Räumen genau dann dicht, wenn
∀ x ∈ X, ∃ (x n ) n∈N Folge in A mit x n → x als n → ∞ .
Auch der Begriff von Stetigkeit kann für metrische Räume durch Konvergenz von Folgen
ausgedrückt werden. Seien (X, d 1 ), (Y, d 2 ) zwei metrische Räume. Dann ist die Funktion f :
X → Y stetig in x ∈ X genau dann, wenn
(x n ) n∈N Folge in X mit x n → x ⇒ f(x n ) → f(x).
f : X → Y ist genau dann stetig, wenn f in jedem Punkt x ∈ X stetig ist.
Während es immer möglich ist, eine Topologie auf einem metrischen Raum zu definieren,
ist es nicht immer möglich, auf einem topologischen Raum eine Metrik so zu definieren, dass die
induzierte Topologie mit der ursprünglichen Topologie übereinstimmt. Nicht alle Topologien
sind metrizierbar. Zum Beispiel ist es klar, dass Topologien, die aus einer Metrik induziert
werden, immer Hausdorff sind (wenn x, y ∈ X, mit x ≠ y, dann d(x, y) > 0 und B d(x,y)/3 (x) ∩
B d(x,y)/3 (y) = ∅). Also jede Topologie, die nicht Hausdorff ist, kann nicht metriziert werden.
Zum Beispiel, die Topologie
τ = {U ⊂ R : U = ∅ oder U c ist abzählbar}
auf X = R ist nicht Hausdorff und also nicht metrizierbar. Eine andere Eigenschaft von
Topologien, die aus Metriken induziert werden, ist, dass jeder Punkt eine abzählbare Umgebungsbasis
besitzt (das ist der Grund, warum der Konvergenzbegriff in metrischen Räumen,
im Gegensatz zu allgemeinen topologischen Räumen, die Topologie charakterisiert). Die Frage,
wann eine Topologie metrizierbar ist, ist eine schwierige Frage, die wir nicht weiter untersuchen
möchten (ausser der Hausdorff Bedingung und der Existenz einer abzählbaren Umgebungsbasis
in jedem Punkt, ist auch eine gewisse lokale Kompaktheit, die man als Parakompaktheit
bezeichnet, notwending, um eine Topologie zu metrizieren).
Definition 1.2.2. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge (x n ) in X heisst Cauchy, falls
d(x n , x m ) → 0 as n, m → ∞. Jede konvergente Folge ist offensichtlich Cauchy. Der metrische
Raum (X, d) heisst vollständig, falls jede Cauchy-Folge konvergent ist.
Beispiel: Q mit d(x, y) = |x − y| ist nicht vollständig. R ist vollständig (es ist als die
Vervollständigung von Q definiert; wir diskutieren später Vervollständigungen von normierten
( ∑n
) 1/2
Räumen). C, mit d(x, y) = |x − y|, ist vollständig. R n , C n , mit d(x, y) =
j=1 |x i − y i | 2
sind auch vollständig.
Bemerke, dass die Cauchy Bedingung sinnlos in allgemeinen topologischen Räumen ist.
Man braucht die metrische Struktur, um den Begriff Vollständigkeit zu definieren.
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