V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Die Behauptung folgt, weil lim sup r→∞ ‖x r − x n ‖ p p zu Null konvergiert, als n → ∞ (das
folgt einfach aus der Cauchy Bedingung). Das beendet den Beweis der Tatsache, dass
l p (K) vollständig ist.
Vervollständigung von normierten Räumen: Vollständigkeit ist sehr nützlich um
Analysis zu machen. Es ist kein Zufall, dass man immer R statt Q betrachtet! Bemerke, dass
R als die Vervollständigung von Q definiert wird. Ähnlicherweise ist es sehr nützlich, ein
Rezept zu haben, um beliebige normierte Räume zu vervollständigen.
Definition 1.3.3. Es sei (X, ‖·‖) ein normierter Raum. Eine Vervollständigung von (X, ‖·‖)
ist ein Tripel (Y, ‖·‖ Y , φ) wobei (Y, ‖·‖ Y ) ein Banachraum ist und φ : X → Y eine isometrische
lineare Abbildung, mit φ(X) = Y .
Theorem 1.3.4. Jeder normierte Raum (X, ‖ · ‖) hat eine Vervollständigung. Die Vervollständigung
ist bis auf einen linearen isometrischen Isomorphismus eindeutig bestimmt.
Beweis. Wir konstruieren die Vervollständigung explizit. Am Ende zeigen wir seine Eindeutigkeit.
Sei C X die Menge aller Cauchy-Folgen auf X. C X ist in natürlicher Weise ein K-
Vektorraum (wir nehmen an, X ist ein K-Vektorraum) mit den folgenden Operationen. Für
x = (x n ) n∈N , y = (y n ) n∈N ∈ C X und λ ∈ K definieren wir
x + y = (x n + y n ) n∈N ,
λx = (λx n ) n∈N
Wir definieren den linearen Unterraum N X ⊂ C X aller Nullfolgen auf X:
N X = {x = (x n ) n∈N ∈ C X : x n → 0 als n → ∞}
Wir definieren jetzt Y := C X /N X als den Quotientenraum von C X , bzgl. der Equivalenzrelation
x ∼ y :⇔ x − y ∈ N X . Y ist also der Raum aller Equivalenzklassen
[x] = {˜x = (˜x n ) n∈N : x n − ˜x n → 0 als n → ∞}
(Wir identifizieren Folgen, deren Differenz nach Null konvergiert). Y ist natürlicherweise ein
K-Vektorraum, mit [x] + [y] = [x + y] und λ[x] = [λx]. Wir führen jetzt eine Norm auf Y ein.
Dazu definieren wir die Funktion p : C X → [0, ∞) durch
Bemerke hier, dass, für x = (x n ) n∈N ∈ C X ,
p(x) = lim
n→∞
‖x n ‖ falls x = (x n ) n∈N . (1.2)
|‖x k ‖ − ‖x l ‖| ≤ ‖x k − x l ‖ → 0
als l, k → ∞. Deswegen ist der Limes in (1.2) wohldefiniert. Wir definieren dann ‖[x]‖ Y :=
p(x), und wir behaupten ‖ · ‖ Y definiert eine Norm auf Y . Erstens, ‖ · ‖ Y ist wohldefiniert,
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