V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Als Anwendung der Dichtkeit von C ∞ (Ω) in H m,p (Ω) können wir die Produktregel auf
Produkte von Sobolev-Funktionen erweitern.
Theorem 2.3.9. Sei Ω ⊂ R n offen, 1 ≤ p ≤ ∞ und p ′ ≥ 1, so dass 1/p + 1/p ′ = 1. Seien
f ∈ H m,p (Ω), g ∈ H m,p′ (Ω). Dann ist fg ∈ H m,1 (Ω) und
∂ α (fg) = ∑ ( α
∂
β)
α−β f∂ β g
β≤α
Beweis. Wir können annehmen, dass p < ∞ (sonst ist p ′ < ∞). Wir nehmen weiter an, dass
m = 1 und wir wählen eine Folge f k ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) mit f k → f in H 1,p (Ω). Dann, für
ξ ∈ Cc
∞ (Ω),
∫
∫
∫
∫
D i ξ fg = lim D i ξ f k g = lim D i (ξf k )g − (D i f k )ξg
k→∞ k→∞
∫
∫
= − lim (ξf k ∂ i g + (D i f k )ξg) = − (ξf∂ i g + ∂ i f k ξg)
k→∞
Induktiv kann man auch m > 1 betrachten.
Eine andere Anwendung von Theorem 2.3.3 ist die Kettenregel für Sobolev-Funktionen
(Das Lemma wurde nicht in der Vorlesung diskutiert).
Lemma 2.3.10. Seien Ω, ˜Ω ⊂ R n offen, τ : ˜Ω → Ω ein C 1 -Diffeomorphismus, d.h. τ ist bijektiv,
so dass τ ∈ C 1 (˜Ω) und τ −1 ∫ C 1 (Ω), mit beschränkten Ableitung-Matrizen (∂ i τ/∂x j ) 1≤i,j≤n
und (∂ i τ −1 /∂x j ) 1≤i,j≤n . Sei f ∈ H 1,p (Ω) für 1 ≤ p < ∞. Dann ist f ◦ τ ∈ H 1,p (˜Ω) und
∂ i (f ◦ τ) =
n∑
(∂ j f) ◦ τ ∂ i τ j
j=1
Beweis. Wir wählen eine Folge f k ∈ C ∞ (Ω) ∩ H 1,p (Ω) mit f k → f als k → ∞. Dann gilt für
ξ ∈ Cc ∞ (Ω), ∫
∫
D i ξ (f ◦ τ) = lim D i ξ (f k ◦ τ) (2.29)
˜Ω
k→∞
Um (2.29) zu zeigen, bemerken wir, dass
∫
∫
|f k − f l | p dx = |f k ◦ τ − f l ◦ τ| p |detDτ|dx
Ω
˜Ω
Da |detDτ| ≥ c > 0, ist f k ◦ τ eine Cauchy-Folge in L p (Ω). Anderseits impliziert f k → f in
L p (Ω) dass, nach Wahl einer Teilfolge, f k (x) → f(x) fast überall in Ω. Da τ −1 Lipschitz-stetig
ist folgt, dass f k ◦ τ(x) → f ◦ τ(x) fast überall. Das, zusammen mit der Tatsache, dass f k ◦ τ
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