V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Orthonormalsysteme sind sehr nützlich, weil man Vektoren sehr einfach auf Unterräume
projektieren kann, die von einem Orthonormalsystem aufgespannt werden.
Lemma 1.4.12. Es sei (H, (·, ·)) ein Hilbertraum, A eine beliebige Menge und (x α ) α∈A ein
Orthonormalsystem in H. Dann konvergiert ∑ α∈A (x α, x)x α für belibige x ∈ H und die lineare
Abbildung φ : H → H definiert durch φ(x) = ∑ α∈A (x α, x)x α ist die stetige Projektion auf
M := span{x α : α ∈ A}
entlang des orthogonalen Komplementes M ⊥ . Insbesonders für x ∈ span{x α : α ∈ A} bekommen
wir
x = ∑ α∈A(x α , x)x α (1.7)
Beweis. Für x ∈ H folgt bei Lemma 1.4.11 und Lemma 1.4.9, dass
∑
|(x α , x)| 2 ≤ ‖x‖ 2 < ∞
α∈A
Lemma 1.4.10 impliziert, dass ∑
(x α , x)x α
α∈A
konvergiert. Die Abbildung φ ist also wohldefiniert. Um die Stetigkeit von φ zu zeigen, bemerken
wir, dass
∥ ‖φ(x)‖ 2 ∑ ∥∥∥∥
2
=
(x α , x)x α = ∑ |(x α , x)| 2 ≤ ‖x‖ 2
∥
α∈A
α∈A
Also, da φ linear ist, bekommen wir:
‖φ(x) − φ(y)‖ = ‖φ(x − y)‖ ≤ ‖x − y‖
Um zu zeigen, dass φ eine Projektion ist, bemerken wir, dass für x ∈ span{x α : α ∈ A},
x =
n∑
b j x j
j=1
und eine einfache Berechnung zeigt, dass φ(x) = x. Wegen Stetigkeit von φ, bekommen wir
φ(x) = x für alle x im Abschluss der linearen Hülle span{x α : α ∈ A}. Weil anderseits, aus
Definition von φ, φ(x) ∈ span{x α : α ∈ A} für alle x ∈ H, folgt einfach, dass φ ◦ φ = φ (also
ist φ eine Projektion). Für x im orthogonalen Komplement von span{x α : α ∈ A} gilt offenbar
(x, x α ) = 0 für alle α ∈ A; deswegen φ(x) = 0.
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