V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Für f ∈ ˜L ∞ (Ω, dµ) setzen wir
‖f‖ ∞ := inf{K > 0 : |f(x)| < K fast überall}
‖f‖ ∞ wird als “essential supremum” von f auf Ω bezeichnet. Auch hier ist ‖ · ‖ ∞ keine Norm
auf ˜L ∞ (Ω, dµ). So definieren wir:
L ∞ (Ω, dµ) := ˜L ∞ (Ω, dµ)/ ∼ = {[f] : f ∈ ˜L ∞ (Ω, dµ)} (2.13)
(L ∞ (Ω, dµ), ‖ · ‖) ist dann ein normierter Raum.
Aus diesen Definitionen folgt, dass die Elemente von L p (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ keine Funktionen
sind, sondern Äquivalenzklassen von Funktionen. Trotzdem werden wir oft von Funktionen
f ∈ L p (Ω) sprechen. Dabei meinen wir aber, dass f ein Repräsentant einer Äquivalenzklasse
in L p (Ω) ist.
Wir müssen noch die Dreiecksungleichung ‖f + g‖ p ≤ ‖f‖ p + ‖f‖ p beweisen. Dazu zeigen
wir zunächst Jensen und Hölder’sche Ungleichungen.
Lemma 2.2.14 (Jensen Ungleichung). Sei J : R → R konvex. Sei (Ω, Σ, µ) ein Massraum,
und f : Ω → R eine messbare Funktion. Wir nehmen an, dass µ(Ω) < ∞ und definieren den
Mittelwert von f
〈f〉 = 1 ∫
µ(Ω) · fdµ
Ω
Dann gilt:
• J ◦ f ist messbar
• Der negative Teil [J ◦ f] − ist integrierbar (und deswegen ist das Integral ∫ (J ◦ f)dµ
Ω
wohldefiniert (möglicherweise unendlich))
Beweis. Übung
Theorem 2.2.15 (Hölder’sche Ungleichung). Seien 1 ≤ p, q ≤ ∞, so dass 1 + 1 p q
(Ω, Σ, µ) ein Massraum und f ∈ L p (Ω), g ∈ L q (Ω). Dann gilt
∫
∫
∣ fgdµ
∣ ≤ |f||g|dµ ≤ ‖f‖ p · ‖g‖ q
Ω
Ω
= 1. Sei
Beweis. Um die zweite Ungleichung zu zeigen, können wir annehmen, dass f, g ≥ 0. Für p = ∞
oder q = ∞ ist die Ungleichung trivial. Deswegen können wir annehmen, dass 1 < p, q < ∞.
Sei A = {x ∈ Ω : g(x) > 0}. Then A c = {x ∈ Ω : g(x) = 0}. Da
∫ ∫ ∫ ∫
f p dµ = f p dµ + f p dµ ≥ f p dµ
Ω
A
A c
42
A