V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Korollar 3.1.4. Jeder endlich dimensionale Unterraum eines normierten Raumes ist
vollständig und daher abgeschlossen.
Beweis. Sei Y ⊂ X ein linearer Unterraum mit dim Y = n < ∞ und mit Basis {e 1 , . . . , e n }.
Auf Y sind die Normen ‖.‖ X und
‖x‖ ∞ = max
j=1,...,n |x j| falls x =
n∑
x j e j
äquivalent durch Lemma 3.1.3. Es genügt, Vollständigkeit bzgl. der ‖.‖ ∞ Norm zu zeigen. Ist
x (k) eine Cauchy-Folge auf Y , so ist x (j)
i eine Cauchy-Folge auf K, und deswegen konvergent.
Es existieren also ξ 1 , . . . , ξ n ∈ K mit x (k)
i → ξ i als k → ∞, für alle i = 1, . . . , n. Dann gilt mit
ξ = ∑ n
j=1 ξ je j , ‖x (k) − ξ‖ ∞ → 0 als k → ∞.
Wir können jetzt die Charakterisierung von Kompaktheit auf endlich dimensionalen Mengen
beweisen.
Satz 3.1.5 (Satz von Heine-Borel). Sei X ein endlich dimensional normierter Raum. Dann
ist A ⊂ X kompakt g.d.w. A beschränkt und abgeschlossen ist.
Beweis. Die Implikation “⇒” folgt aus Theorem 3.1.2. Um die Implikation “⇐” zu beweisen,
genügt es zu zeigen, dass jede beschränkte Teilmenge eines endlich dimensionalen Raumes
präkompakt ist. Sei {e 1 , . . . , e n } eine Basis von X. Dann definieren wir die Norm
‖x‖ ∞ = max
j=1,...,n |x j| (fallsx =
j=1
n∑
x j e j )
auf X. Da alle Normen äquivalent sind, genügt es, die Behauptung bzgl. der Norm ‖.‖ ∞ zu
beweisen. Hierfür genügt es, zu zeigen, dass für alle R > 0, ε > 0 n(R, ε) ∈ N existieren und
x (1) , . . . , x (n(R,ε)) ∈ X mit
B R (0) ⊂ ∪ n(R,ε)
j=1 B ε (x (j) ).
Sei m = ⌈(R/ε)⌉ die kleinste ganze Zahl grösser als R/ε. Dann
j=1
B R (0) = {x : ‖x‖ ∞ < R} = ∩ n l=1{x ∈ X : |x l | < R}
⊂ ∩ n l=1 ∪ m−1
j=−m {x ∈ X : j lε ≤ x l < (j l + 1)ε}
⊂ ∪ m j 1 ,...,j n=−m ∩ n l=1 {x ∈ X : |x l − j l ε| < ε}
= ∪ m j 1 ,...,j n=−m{x ∈ X : max |x l − j l ε| < ε}
l=1,...,n
n∑
= ∪ m j 1 ,...,j n=−mB ε ( εj l e l )
l=1
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