V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Um (2.22) zu beweisen, setzen wir a = A und b = Be iθ mit A, B > 0, θ ∈ [0, 2π] und zeigen,
dass
(A + B) p + |A − B| p ≤ |A + Be iθ | p + |A − Be iθ | p
für alle θ ∈ [0, 2π].
In (2.22) nehmen wir nun a = f(x), b = g(x) und r = ‖g‖ p /‖f‖ p . Nach Integration über x
bekommen wir
‖f‖ p [ (
1 + ‖g‖
‖f‖
) p−1 (
+ 1 − ‖g‖ ) ] [ p−1 (
+‖g‖ p ‖f‖p−1
1 + ‖g‖ ) p−1 (
− 1 − ‖g‖ ) ] p−1
‖f‖
‖g‖ p−1 ‖f‖
‖f‖
≤ ‖f + g‖ p + ‖f − g‖ p
also
‖f‖ [ (‖f‖ + ‖g‖) p−1 + (‖f‖ − ‖g‖) p−1] + ‖g‖ [ (‖f‖ + ‖g‖) p−1 − (‖f‖ − ‖g‖) p−1]
≤ ‖f + g‖ p + ‖f − g‖ p
und schlussendlich
(‖f‖ + ‖g‖) p + (‖f‖ − ‖g‖) p ≤ ‖f + g‖ p + ‖f − g‖ p
Korollar 2.2.20. Sei (Ω, Σ, µ) ein Massraum. Dann ist L p (Ω, dµ) für 1 < p < ∞ strikt
konvex.
Beweis. Für 1 ≤ p ≤ 2 benutzen wir, dass
(a + b) p + (a − b) p ≥ 2a p + p(p − 1)a p−2 b 2
für alle 0 < b < a (Beweis: Übung). Also impliziert die zweiten Hanner’sche Ungleichung mit
a = ‖f + g‖, b = ‖f − g‖, falls ‖f + g‖ ≥ ‖f − g‖, dass
2 p (‖f‖ p p + ‖g‖ p p) ≥ (‖f + g‖ p + ‖f − g‖ p ) p + (‖f + g‖ p − ‖f − g‖ p ) p
≥ 2‖f + g‖ p + p(p − 1)‖f + g‖ p−2 ‖f − g‖ 2 (2.23)
Also finden wir für ‖f‖ = ‖g‖ = 1
und deswegen
2 p+1 ≥ 2‖f + g‖ p + p (p − 1)‖f + g‖ p−2 ‖f − g‖ 2
f + g
∥ 2 ∥
p
+
p(p − 1)
8
f + g
∥ 2
∥
p−2
‖f − g‖ 2 ≤ 1
Diese Ungleichung impliziert strikte Konvexität. Der Fall 2 ≤ p < ∞ ist ähnlich (man benutze
hier die erste Hanner’sche Ungleichung).
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