V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Insbesondere, falls
M = span{x α : α ∈ A}
dicht in H ist, d.h. falls M = H, gibt (1.7) eine Darstellung jedes Vektors in H. In diesem
Fall sagt man, dass die (x α ) α∈A eine Hilbertraumbasis bilden.
Definition 1.4.13. Sei H ein Hilbertraum. Eine Hilbertraumbasis ist ein Orthonormalsystem
(x α ) α∈A mit
span{x α : α ∈ A} = H
Beispiel: H = l 2 (K). Sei e k = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) mit 1 an der k-ten Stelle, und sonst nur
0. Dann ist (e k ) k∈N eine Hilbertraumbasis.
Es gibt viele equivalente Charakterisierungen für Hilbertraumbasis.
Theorem 1.4.14. Sei H ein Hilbertraum, und (x α ) α∈A ein Orthonormalsystem. Equivalent
sind
i) (x α ) ist Hilbertraumbasis.
ii) x = ∑ α (x α, x)x α , für alle x ∈ H.
iii) ‖x‖ 2 = ∑ α |(x α, x)| 2 , für alle x ∈ H.
iv) (x α , x) = 0 für alle α ∈ A impliziert, dass x = 0.
v) (x α ) α∈A ist ein maximales Orthonormalsystem im Sinne der Inklusionen.
Beweis. Das Theorem folgt aus den Implikationen:
i) ⇒ ii) Folgt aus Lemma 1.4.12.
ii)⇒ iii) Lemma 1.4.10.
iii) ⇒ iv) Offensichtlich.
iv) ⇒ v) Nehmen wir an (x α ) α∈A ist nicht maximal. Dann gibt es x ∞ ∈ H mit ‖x ∞ ‖ = 1 und
(x α , x ∞ ) = 0 für alle α ∈ A. iv) impliziert dann, dass x ∞ = 0, was in Wiederspruch zu
‖x ∞ ‖ = 1 steht.
v) ⇒ i) Setze M = span{x α : α ∈ A}. Falls M ≠ H, dann ist M ⊥ ≠ {0}, und H = M ⊕ M ⊥ .
Wähle x ∞ ∈ M ⊥ mit ‖x ∞ ‖ = 1. Dann ist (x α ) α∈A ∪ x ∞ ein Orthonormalsystem, in
Wiederspruch zur Maximalität von (x α ) α∈A . Also M = H.
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