V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Das zeigt, dass (L p (Ω, dµ), ‖ · ‖ p ) für alle 1 ≤ p ≤ ∞ ein normierter Raum ist. Für
p = 2 hat L 2 (Ω) nicht nur die Struktur eines normierten Raumes, sondern auch die eines
Prähilbertraumes. Für f, g ∈ L 2 (Ω) können wir nämlich
∫
(f, g) L 2 := dµ ¯fg
definieren. Dann gelten die Axiome eines Skalarprodukte, und ‖f‖ 2 L 2 = (f, f) L 2.
2.2.3 Vollständigkeit von L p
Theorem 2.2.17 (Fischer-Riesz Theorem). Sei (Ω, Σ, µ) ein Massraum, und 1 ≤ p ≤ ∞.
Dann ist L p (Ω, dµ) vollständig.
Beweis. Wir betrachten hier den Fall 1 ≤ p < ∞. Sei f k ∈ L p (Ω) eine Cauchy-Folge. Es
genügt zu zeigen, dass eine Teilfolge i j und f ∈ L p (Ω) existieren, mit f ij → f als j → ∞.
Dann haben wir für beliebige l ∈ N
für alle j ∈ N. Deswegen
Da f l eine Cauchy-Folge ist, erhalten wir
‖f l − f‖ p ≤ ‖f l − f ij ‖ p + ‖f ij − f‖ p
‖f l − f‖ p ≤ lim sup ‖f l − f ij ‖ p
j→∞
lim sup ‖f l − f ij ‖ p → 0 als l → ∞
j→∞
Wir konstruieren also eine geeignete Teilfolge. Dazu wählen wir i 1 ∈ N, so dass
‖f l − f i1 ‖ ≤ 1 2
∀l ≥ i 1
Weiter wählen wir i 2 ∈ N mit i 2 ≥ i 1 und
‖f l − f i2 ‖ ≤ 1 2 2 ∀l ≥ i 2
Iterativ finden wir für k ∈ N, i k ∈ N mit i k > i k−1 und
‖f l − f ik ‖ ≤ 1 2 k ∀l ≥ i k .
Wir behaupten, dass f ij
wir für beliebige l ∈ N
konvergiert, als j → ∞. Um diese Behauptung zu zeigen, definieren
l∑
F l (x) := |f i1 (x)| + |f ik+1 (x) − f ik (x)| .
k=1
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