V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

für alle j ∈ N und fast alle x ∈ X, dann haben wir |f(x)| ≤ G(x) für fast alle x ∈ X und
∫ ∫
f j dµ = fdµ
lim
j→∞
X
Schlussendlich erwähnen wir das Theorem von Fubini, welches sehr wichtig ist, um die
Ordnung von Integralen zu vertauschen.
Definition 2.2.12. Seien (X 1 , Σ 1 , µ 1 ), (X 2 , Σ 2 , µ 2 ) zwei Massräume. Auf der Menge X 1 × X 2
definieren wir die Produkt-σ-Algebra, als die σ-Algebra, die aus Mengen der Form A × B mit
A ∈ Σ 1 und B ∈ Σ 2 erzeugt wird.
Bemerkungen:
X
• Mit dieser Definition gilt
B(R n+m ) = B(R n ) × B(R m )
• Die Produkt-σ-Algebra Σ 1 × Σ 2 hat die Querschnitts-Eigenschaft. Für alle A ∈ Σ, x 1 ∈
X 1 und x 2 ∈ X 2 gilt:
(Beweis: Übung).
A 1 (x 2 ) := {y ∈ X 1 : (y, x 2 ) ∈ A} ∈ Σ 1
A 2 (x 1 ) := {y ∈ X 2 : (x 1 , y) ∈ A} ∈ Σ 2
(2.10)
Man kann beweisen, dass auf der σ-Algebra Σ 1 × Σ 2 ein eindeutiges Mass µ existiert, so
dass µ(A 1 × A 2 ) = µ 1 (A 1 )µ 2 (A 2 ) gilt. Solches µ wird als µ = µ 1 × µ 2 bezeichnet (als Beispiel,
falls µ 1 und µ 2 die Lebesgue-Maße auf B(R n ) und, bzw. auf B(R m ) sind, so ist µ 1 × µ 2 das
Lebesgue-Maß auf B(R n+m )).
Theorem 2.2.13 (Fubini). Seien (X 1 , Σ 1 , µ 1 ), (X 2 , Σ 2 , µ 2 ) zwei σ-endliche Massräume. Sei
f eine messbare Funktion auf X 1 × X 2 , bzgl. Σ 1 × Σ 2 . Falls f ≥ 0 so gilt
∫
(∫
)
(∫
)
f d(µ 1 × µ 2 ) = f(x, y)dµ 2 (y) dµ 1 (x) = f(x, y)dµ 1 (x) dµ 2 (y)
X 1 ×X 2
∫X 1 X 2
∫X 2 X 1
Für f : X 1 × X 2 → C gilt (2.11), falls zusätzlich
∫
X 1 ×X 2
|f| d(µ 1 × µ 2 ) < ∞
(2.11)
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