V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Definition 1.1.8. Ein topologischer Raum (X, τ) heisst kompakt, falls (X, τ) Hausdorff ist,
und falls
{U λ } λ∈Λ Familie in τ mit ⋃ n⋃
U λ = X ⇒ ∃ n ∈ N und λ 1 , . . . , λ n ∈ Λ : U λj = X,
λ∈Λ
d.h., falls jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Bemerkung: Sei (X, τ) ein kompakter Raum, und A ⊂ X abgeschlossen. Dann ist A, versehen
mit der Unterraumtopologie, ein kompakter Raum. In der Tat ist klar, dass A Hausdorff
ist. Weiter, wenn {U λ } λ∈Λ eine offene Überdeckung von A ist, so ist {{U λ } λ∈Λ , A c } eine offene
Überdeckung von X. Deswegen existieren n ∈ N, λ 1 , . . . , λ n ∈ Λ, so dass X = A c ∪ ⋃ n
j=1 U λ j
.
Also, {U λj } n j=1 eine endliche Teilüberdeckung von A ist.
Auf topologischen Räumen impliziert i. A. Kompaktheit nicht Folgenkompaktheit (Folgenkompaktheit
bedeutet, dass jede Folge eine konvergente Teilfolge hat). Aber zumindest folgt
aus der Kompaktheit die Tatsache, dass jede Folge mindestens einen Häufungspunkt besitzt
(x ∈ K ist ein Häufungspunkt von (x n ), wenn für jede offene Umgebung U von x, unendlich
viele Punkte aus (x n ) existieren, die in U sind).
Theorem 1.1.9. Sei (X, τ) ein kompakter Raum und (x n ) n∈N eine Folge in X. Dann existiert
mindestens ein Häufungspunkt von (x n ) in X.
Beweis. Nehmen wir an, dass die Folge (x n ) n∈N keinen Häufungspunkt in X hat. Dann finden
wir für jede y ∈ X eine offene Umgebung U y , so dass U y nur endlich viele Punkte x n enthält.
{U y } y∈X ist dann eine offene Überdeckung von X. Deswegen existieren m ∈ N und y 1 , . . . , y m ∈
X, so dass U y1 ∪ · · · ∪ U ym = X. Das widerspricht der Tatsache, dass jede U y nur endlich viele
Punkte von (x n ) entält.
Unter Annahme der Hausdorff Bedingung und der Kompaktheit kann man zeigen, dass die
stetigen Funktionen die Punkte von X separieren. Dazu brauchen wir die folgenden Lemmata.
Lemma 1.1.10. Sei (X, τ) ein kompakter topologischer Raum. Sei x ∈ X, U offene Umgebung
von x. Dann existiert V offene Umgebung von x mit V ⊂ U.
Beweis. Für jedes y ∈ X\U wähle offene Umgebung W y von y und offene Umgebung V y von
x mit W y ∩ V y = ∅. Dann ist {{W y } y∈X/U , U} eine offene Überdeckung von X. Es existieren
also n ∈ N und y 1 , . . . , y n mit
n⋃
X = U ∪ W yj .
Setze V := ⋂ n
j=1 V y j
. Dann ist V offene Umgebung von x. Weiter, W := ⋃ n
j=1 W y j
ist offen,
mit W ∩ V = ∅. Deswegen ist W c abgeschlossen, mit V ⊂ W c , und also
j=1
V ⊂ W c ⇒ V ∩ W = ∅
7
j=1