V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Bemerkungen:
• Die Vollständigkeit der Räume H m,p (Ω) für 1 ≤ p < ∞ folgt auch direkt aus diesem
Theorem.
• Für p = ∞ ist φ( ˜X) eine echte Teilmenge von H m,∞ (Ω).
• Das Theorem zeigt, dass H m,p (Ω), für 1 ≤ p < ∞ die Vervollständigung von C ∞ (Ω)
bzgl. der H m,p -Norm ist. Es ist manchmal interessant, die Vervollständigung von Cc
∞ (Ω)
bzgl. der selben Norm zu betrachten. Für 1 ≤ p < ∞ definieren wir
H m,p
H m,p
0 (Ω) = {f ∈ H m,p (Ω) : ∃f k ∈ C ∞ c (Ω) mit ‖f − f k ‖ H m,p → 0 als k → ∞}
0 (Ω) ist bei Definition eines abgeschlossenen Unterraums von H m,p (Ω). Falls Ω = R n ,
dann ist H m,p
0 (R n ) = H m,p (R n ). Falls aber Ω ≠ R n , so ist H m,p
0 (Ω) ein echter Teilraum
von H m,p (Ω). Wir erinnern hier, dass, für 1 ≤ p < ∞, dieRäume C0 ∞ (Ω) und C ∞ (Ω)
dieselbe Vervollständigung bzgl. der L p -Norm haben (nämlich den Raum L p (Ω)). Das
gilt bei den Sobolev-Räumen nicht mehr. Der Grund dafür ist der folgende: Der Preis um
eine Funktion auf Ω durch eine Funktion mit kompakten Träger in Ω zu approximieren
ist klein in der L p -Norm; er ist aber gross in der H m,p -Norm, weil die Ableitungen der
approximierenden Funktion neben dem Rand gross werden. Die Probleme neben dem
Rand sind auch der Grund, warum der Beweis von Theorem 2.3.3 viel schwieriger, als
der Beweis des entsprechenden Resultats für L p -Räume (Theorem 2.2.24), ist.
Um Theorem 2.3.3 zu beweisen, brauchen wir zunächst einige Definitionen.
Definition 2.3.4. Sei ϕ ∈ C ∞ c (R n ) mit ϕ ≥ 0, ∫ ϕ = 1 und supp ϕ ⊂ B 1 (0). Für ε > 0
setze ϕ ε (x) = ε −n ϕ(x/ε). So gilt ∫ ϕ ε = 1 für alle ε > 0 und ∫ R n \B δ (0) ϕ ε → 0 für alle δ > 0.
Eine solche Familie (ϕ ε ) ε>0 wird als Standard Dirac-Folge bezeichnet (ϕ ε konvergiert formell
zu einer Dirac Delta Funktion).
Lemma 2.3.5. Sei Ω ⊂ R n offen, K ⊂ R n kompakt mit
B δ (K) = {x ∈ R n : d(x, K) < δ} ⊂ Ω
für δ > 0. Dann gibt es eine Abschneidefunktion η ∈ C ∞ c (Ω) mit a ≤ η ≤ 1, η = 1 auf K,
suppη ⊂ B δ (K), |D α η| ≤ C α δ −|α| , für alle α ∈ N n .
Beweis. Sei (ϕ ε ) ε>0 eine Standard Dirac-Folge. Dann hat
η := ϕ δ/4 ∗ χ Bδ/4 (K)
die gewünschten Eigenschaften (siehe z.B., Theorem 2.2.24).
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