V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

abzählbare Umgebungsbasis besitzt (das ist immer der Fall in metrischen Räumen, nicht aber
in topologischen Räumen). Insbesondere, in topologischen Räumen, ist A i. A. nicht die Menge
aller Limites von Folgen in A (allgemein gilt nur, dass A ⊃ {x : ∃(x n ) ∈ A mit x n → x}).
Deswegen ist A dicht, d.h. A = X ist i. A. nicht mit der Bedingung gleichwertig, dass für jede
x ∈ X eine Folge x n ∈ A mit x n → x existiert (die zweite Bedingung ist stärker, sie impliziert,
dass A dicht ist; es könnte aber eine dichte Teilmenge A ⊂ X und x ∈ A c geben, die nicht
durch Folgen in A approximiert werden können). Ähnlicherweise impliziert f stetig in x ∈ X,
dass für jede Folge x n mit x n → x, f(x n ) → f(x). Für allgemeine topologische Räume gilt die
Umkehrung aber nicht (noch einmal: Die Umkehrung gilt, falls jeder Punkt eine abzählbare
Umgebungsbasis hat).
Vergleich von Topologien: Seien τ 1 , τ 2 zwei Topologien auf einer Menge X. Wir sagen,
dass τ 1 feiner oder stärker als τ 2 ist (oder, dass τ 1 eine Verfeinerung von τ 2 ist), bzw. dass τ 2
schwächer oder gröber als τ 1 ist, wenn τ 2 ⊂ τ 1 .
Sei jetzt τ 1 feiner als τ 2 . Dann gibt es in (X, τ 1 ) mehr offene Mengen als in (X, τ 2 ). Deswegen
ist Konvergenz in (X, τ 1 ) schwieriger als in (X, τ 2 ). Mit anderen Worten, falls τ 1 feiner als τ 2
ist, dann
x n → x bzgl. τ 1 ⇒ x n → x bzgl. τ 2
Insbesondere, falls τ = 2 X , dann konvergieren nur konstante Folgen (Folgen, so dass x n = x
für alle n gross genug). Dagegen, falls τ = {∅, X}, konvergiert jede Folge (gegen jeden Limes).
Auch der Begriff von Stetigkeit hängt natürlich von der Topologie ab. Seien τ 1 , τ 2 Topologien
auf X, so dass τ 1 feiner als τ 2 ist. Dann impliziert f : X → Y stetig bzgl. τ 2 , dass
f stetig bzgl. τ 1 ist (es ist schwieriger stetig zu sein, falls X weniger offene Mengen hat).
Anderseits, wenn S 1 ⊃ S 2 zwei Topologien auf Y sind (und die Topologie auf X fest bleibt),
dann impliziert f stetig bzgl. S 1 , dass f stetig bzgl. S 2 ist (es ist schwieriger stetig zu sein,
wenn Y mehrere offene Mengen hat). Insbesondere, falls τ = 2 X , oder falls S = {∅, Y } so ist
jede Funktion f : X → Y stetig.
Die patologischen Beispiele τ = {∅, X}, τ = 2 X zeigen, dass die Topologie oft nicht genug
ist, um einen nützlichen Begriff von Konvergenz (und Stetigkeit) zu haben. Dafür ist es z.B.
wichtig zu wissen, dass die Topologie genügend viele offene Menge enthält, um verschiedene
Punkte in X zu separieren. Deswegen führen wir den Begriff von Hausdorff-Räumen ein.
Definition 1.1.7. Ein topologischer Raum (X, τ) heisst Hausdorff, falls beliebige Punkte
x, y ∈ X, mit x ≠ y, disjunkte offene Umgebungen besitzen, d.h.
x ≠ y ⇒ ∃ U x , U y ∈ τ mit x ∈ U x , y ∈ U y und U x ∩ U y = ∅
Zwischen allen Hausdorff-Räumen spielen die kompakten Räume eine wichtige Rolle.
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