V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

mit der Norm
( ∞
) 1/p
∑
‖x‖ p = |x j | p
j=1
alle Banachräume. In der Tat, die Abbildung ‖ · ‖ p ist eine Norm; die Bedingungen
‖x‖ = 0 gdw x = 0 und ‖λx‖ = |λ|‖x‖ sind einfach zu zeigen. Die Dreiecksungleichung
ist ein bisschen schwieriger (der Beweis für die Lebesgue-Räume L p ist sehr ähnlich, und
wird im nächsten Kapitel diskutiert). Es bleibt noch zu zeigen, dass l p (K) vollständig
ist. Es sei dafür x n = (x 1 n, x 2 n, . . . ) eine Cauchy-Folge in l p (K). Dann gilt für jede feste
l ∈ N,
|x l n − x l m| ≤ ‖x n − x m ‖ p → 0
als n, m → ∞. D.h., x l n definiert, für beliebige l ∈ N, eine Cauchy-Folge auf K. Da K
vollständig ist, existiert der Limes
x l = lim
n→∞
x l n
für alle l ∈ N. Wir setzen x = (x 1 , x 2 , . . . ), und wir behaupten, dass x ∈ l p (K). In der
Tat, für beliebige feste m ∈ N,
m∑
j=1
|x j | p = lim
n→∞
m
∑
j=1
|x j n| p ≤ lim sup
n→∞
∞∑
j=1
|x j n| p = lim sup ‖x n ‖ p p
n→∞
Da die rechte Seite endlich ist (Cauchy-Folgen sind immer beschränkt) und unabhängig
von m ∈ N, ist x n ∈ l p (K). Weiter behaupten wir, dass x n → x in l p (K). Tatsächlich
haben wir für beliebige feste m, r ∈ N
(
m∑
m
)
∑
m∑
|x l − x l n| p ≤ C p |x l − x l r| p + |x l r − x l n| p
l=1
l=1
l=1
( m
)
∑
≤ C p |x l − x l r| p + ‖x r − x n ‖ p p
l=1
Wir lassen jetzt r → ∞ (die linke Seite ist unabhängig von r), bei festem m, n ∈ R. Wir
erhalten
m∑
|x l − x l n| p ≤ C p lim sup ‖x r − x n ‖ p p
r→∞
l=1
Da die rechte Seite nicht von m ∈ N abhängt, können wir m → ∞ streben lassen. Dann
‖x − x n ‖ p p ≤ C p lim sup ‖x r − x n ‖ p p
r→∞
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