V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis

Das zeigt, dass f(U) ⊂ B ε (f(x)) und impliziert, dass f ∈ C K (K). Aus (2.1) folgt, dass die
Folge f n in C K (K) konvergiert.
Wir untersuchen nun die Frage, wie man Funktionen in C K (K) mit Folgen von einfacheren
Funtionen, z.B. Polynomen, approximieren kann. Um das Theorem von Stone-Weierstrass zu
formulieren, brauchen wir die folgende Definition:
Definition 2.1.4. A ⊂ C K (K) heisst eine Unteralgebra falls A ein linearer Unterraum ist und
f, g ∈ A auch f · g ∈ A impliziert. Wir sagen, dass die Unteralgebra A die Punkte von K
trennt, falls
∀ x, y ∈ K mit x ≠ y, ∃f ∈ A : f(x) ≠ f(y).
Zum Beispiel, wie in Sektion 1.1 bewiesen, ist C K (K) eine Unteralgebra, die die Punkte
fon K trennt.
Theorem 2.1.5 (Theorem von Stone-Weierstrass, K = R). Sei A eine Unteralgebra von
C K (K), die die Punkte von K trennt. Dann gilt entweder A = C K (K) oder es existiert ein
eindeutiges x 0 ∈ K so, dass A = {f ∈ C K (K) : f(x 0 ) = 0}
Beispiel: Sei K ⊂ R n kompakt, A die Menge aller Polynome in den Variablen x 1 , . . . , x n .
D.h.:
⎧
⎫
⎨
A =
⎩ p(x) =
∑
⎬
a α x α , für ein m ∈ N und a α ∈ R
⎭ .
α:|α|≤n
Hier ist α = (α 1 , . . . , α n ) ∈ N n , x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n , und x α = x α 1
1 . . . x αn
n . Dann ist einfach
zu überprüfen, dass A eine Unteralgebra von C K ist, die die Punkte von K trennt und, dass A =
{f ∈ C K (K) : f(x 0 ) = 0} in diesem Fall nicht gelten kann. Deswegen impliziert das Theorem
von Stone-Weierstrass, dass A = C K (K). D.h. stetige Funktionen können durch Polynome
approximiert werden. Die Konvergenz ist gleichmässig auf jeder kompakten Teilmenge von
R n .
Beweis. Wir nehmen zuerst an, dass
∀ x ∈ K, ∃ f ∈ A mit f(x) ≠ 0.
Unter dieser Voraussetzung zeigen wir, dass A = {f ∈ C R (K)}. Dafür benötigen wir verschiedene
Schritte.
• Schritt 1: Seien x 1 , x 2 ∈ K, x 1 ≠ x 2 , und α 1 , α 2 ∈ R. Dann:
∃ f ∈ A mit f(x 1 ) = α 1 , f(x 2 ) = α 2 .
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