Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.3 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.3 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen
Definition: Gemeinsame stetige Verteilung und Dichte
Die Zufallsvariablen X und Y sind gemeinsam stetig verteilt, wenn es eine
zweidimensionale Dichtefunktion f(x, y) ≥ 0 gibt, so daß
P(a ≤ X ≤ b,c ≤ Y ≤ d) =
∫ b ∫ d
a
c
f(x, y) dy dx.
0
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
-1
-2
1
2
3
4
5
6
Form einer zweidimensionalen Dichte f(x, y)
Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im SS 2007 52
Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im SS 2007 53
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.3 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen
Definition: Randdichte
Die Randdichte von X ist gegeben durch
f X (x) =
die Randdichte von Y durch
f Y (y) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(x, y) dy,
f(x,y) dx.
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.3 Zweidimensionale stetige Zufallsvariablen
Definition: Bedingte Dichte
Die bedingte Dichte von Y unter der Bedingung X = x, kurz Y |X = x, ist für
festen Wert x und f X (x) ≠ 0 bestimmt durch
f Y (y|x) =
f(x, y)
f X (x) .
Für f X (x) = 0 legt man f Y (y|x) = 0 fest.
Die bedingte Dichte von X unter der Bedingung Y = y, kurz X|Y = y, ist für
festen Wert y und f Y (y) ≠ 0 bestimmt durch
f X (x|y) =
f(x, y)
f Y (y) .
Für f Y (y) = 0 legt man f X (x|y) = 0 fest.
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