Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.5 Kovarianz und Korrelation
Definition: Korrelationskoeffizient ρ
Eigenschaften:
ρ = ρ(X,Y ) =
1. −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1
Cov(X, Y )
√
V ar(X)
√
V ar(Y )
= Cov(X, Y )
σ X σ Y
.
2. ρ(X,Y ) = ±1 ⇔ Y = aX + b mit a > 0 bzw. a < 0
3. Maßstabsunabhänigigkeit gegenüber linearer Transformation
˜X = a X X + b X , Ỹ = a Y Y + b Y mit a X ≠ 0, a Y ≠ 0
⇒ ρ( ˜X,Ỹ ) = a Xa Y
|a X ||a Y | ρ(X,Y )
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.5 Kovarianz und Korrelation
Definition: Unkorreliertheit
Zwei Zufallsvariablen X und Y heißen unkorreliert, wenn gilt
ρ(X,Y ) = 0.
Wenn ρ(X,Y ) ≠ 0 gilt, heißen sie korreliert.
Sind zwei Zufallsvariablen unabhängig, so sind sie auch unkorreliert, d.h. es gilt
ρ(X,Y ) = 0.
Bemerkung:
• X,Y unabhängig ⇒ E(X · Y ) = E(X) · E(Y )
Verschiebungssatz ⇒ Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ) = 0
• Umkehrung “X,Y unkorreliert ⇒ X,Y unabhängig” im allgemeinen falsch!
Ausnahme: X,Y gemeinsam normalverteilt
Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im SS 2007 68
Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker im SS 2007 69
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.5 Kovarianz und Korrelation
8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen 8.5 Kovarianz und Korrelation
Varianz der Summe von Zufallszahlen
V ar(X 1 + X 2 ) = V ar(X 1 ) + V ar(X 2 ) + 2Cov(X 1 , X 2 ).
Beispiel: Portfolio-Analyse
V ar(a 1 X 1 + ... + a n X n ) = a 2 1V ar(X 1 ) + · · · + a 2 nV ar(X n )
+ 2a 1 a 2 Cov(X 1 ,X 2 ) + 2a 1 a 3 Cov(X 1 ,X 3 ) + ...
n∑
= a 2 iV ar(X i ) + 2 ∑ a i a j Cov(X i ,X j ).
i=1 i