Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

7. Mehr über Zufallsvariablen und Verteilungen 7.1 Gesetz der großen Zahlen und Grenzwertsätze
7.1.2 Der zentrale Grenzwertsatz
X beliebig verteilte Zufallsvariable mit E(X) = µ,V ar(X) = σ 2 > 0
X 1 , ...,X n i.i.d. wie X
⇒ E(X 1 + ... + X n ) = nµ,V ar(X 1 + . .. + X n ) = nσ 2
Zentraler Grenzwertsatz:
X 1 + ... + X n
a
∼ N(nµ, nσ 2 )
a
∼ bedeutet: approximativ bzw. asymptotisch für n → ∞ verteilt wie
Exakte Formulierung mit standardisierter Summe
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Der zentrale Grenzwertsatz
X 1 , ...,X n seien unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit E(X i ) = µ
und V ar(X i ) = σ 2 > 0 .
Dann konvergiert die Verteilungsfunktion F n (z) = P(Z n ≤ z) der standardisierten
Summe
Z n = X 1 + ... + X n − nµ
√ = 1 ∑ n
X
√ i − µ
nσ n σ
für n −→ ∞ an jeder Stelle z ∈ R gegen die Verteilungsfunktion Φ(z) der
Standardnormalverteilung:
F n (z) −→ Φ(z) .
Kurz:
Z n
a
∼ N(0, 1).
i=1
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f(x)
f(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(a)
−4 −2 0 2 4
(c)
x
−4 −2 0 2 4
x
f(x)
f(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(b)
−4 −2 0 2 4
x
−4 −2 0 2 4
Dichten von (a) X 1 ∼ f(x), (b) X 1 + X 2 , (c) X 1 + X 2 +
X 3 , (d) X 1 + . . . + X 6 und approximierende Normalverteilungsdichte
ϕ(x)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
(d)
x
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Spezialfall: X 1 , ...,X n i.i.d. ∼ B(1,π) ⇒ X 1 + ... + X n = H n ∼ B(n,π)
⇒
Grenzwertsatz von de Moivre
Für n −→ ∞ konvergiert die Verteilung der standardisierten absoluten Häufigkeit
H n − nπ
√
nπ(1 − π)
gegen eine Standardnormalverteilung. Für großes n gilt
H n
a
∼ N(nπ, nπ(1 − π)) ,
d.h. die B(n,π)-Verteilung läßt sich durch eine Normalverteilung mit µ = nπ,
σ 2 = nπ(1−π) approximieren. Für die relative Häufigkeit H n /n gilt entsprechend
H n /n a ∼ N(π, π(1 − π)/n) .
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