Statistik II für Statistiker, Mathematiker und Informatiker (SS ... - LMU

10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
Annahmen:
10.1.2 Approximativer Gauß-Test
X beliebig verteilt mit E(X) = µ; V ar(X) = σ 2 bekannt.
X 1 , ...,X n i.i.d. wie X; Faustregel: n ≥ 30
Wegen zentralem Grenzwertsatz: Unter µ = µ 0 gilt
¯X a ∼ N(µ 0 , σ2
n ) bzw. Z a ∼ N(0, 1)
10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
Beispiel:
Testvorschrift wie beim exakten
Gauß-Test.
Aber: P(Fehler 1.Art) a ≤ α
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10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
10. Testen: Einführung und Konzepte 10.1 Gauß-Test, Student-Test und Binomialtest
10.1.3 Student-Test
• Annahmen: Wie beim Gauß-Test in 10.1.1 bzw. 10.1.2, aber: σ 2 unbekannt
• Hypothesen: a), b), c) wie bisher
• Idee: Ersetze σ (beim Gauß-Test) durch
S = √ 1 n∑
(X i −
n − 1
¯X) 2 ,
i=1
Man kann zeigen: X ∼ N(µ 0 ,σ 2 )
⇒
⇒ T ∼ t(n − 1) Student-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden
Herleitung der Testvorschriften wie beim Gauß-Test; ersetze Z durch T und
die Dichte φ von Z durch Dichte der t(n − 1)-Verteilung.
⇒ Ersetze in Testvorschriften Z durch T und z-Quantile durch t(n − 1)-
Quantile.
Für n ≥ 30 : t(n − 1)-Quantile ≈ z-Quantile
⇒ Z = ¯X−µ 0
σ
√ n Teststatistik T =
¯X−µ 0
√
S n
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